Банка с квасом

Как меняется положение центра масс при удалении тонкого слоя жидкости, если уровень жидкости выше центра масс и если ниже? Запишите высоту центра масс как функцию уровня кваса \(h\).

В начальный момент центр масс банки с квасом находится в центре банки, но там же он находится и у пустой банки. Во время отхлёбывания центр масс опускается, пока уровень кваса выше центра масс: удаление тонкого слоя жидкости понижает центр масс. Когда уровень опустится ниже центра масс, удаление слоя его поднимает. Значит, минимум достигается, когда центр масс находится на уровне кваса.

Пусть высота банки равна \(H\), масса кваса \(m\), масса банки \(M\). Если уровень жидкости находится на высоте \(h\), то её масса равна \(mh/H\), а высота центра масс банки с квасом \[y_c = \frac{MH/2 + (mh/H)\cdot h/2}{M + mh/H}.\] Приравнивая \(y_c = h\), получаем квадратное уравнение \(mh^2 + 2MHh - MH^2 = 0\). Его корни имеют разные знаки, нужен положительный: \[h = \frac{H}{1 + \sqrt{1 + m/M}}.\] При \(H = 20\) см и \(m/M = 400/50 = 8\) получаем \(h = \dfrac{20}{1 + 3} = 5\) см.