Задачи › Стоячие волны, струны и трубы

Колебания пружинки в перпендикулярном направлении

  1. Колебания пружинки в перпендикулярном направлении

    IEPhO 2017/18, 10 кл.
    7/10

    В этой задаче требуется оценка погрешностей!

    Если на растянутую пружину действовать периодической силой в направлении перпендикулярном ее растяжению, то в ней возникнут колебания. На определенных частотах амплитуда колебаний пружины будет большой. Такие частоты называются резонансными. В зависимости от резонансной частоты может установиться разный профиль распределения амплитуд вдоль пружины. На самой малой резонансной частоте колебаний установится профиль колебаний, изображенный на рисунке 1. В дальнейшем под периодом колебаний пружины будет подразумеваться величина обратная наименьшей резонансной частоте колебаний. Для получения таких колебаний растяните пружину, с небольшой амплитудой двигайте один конец пружины периодически в направлении перпендикулярном растяжению, подбирая частоту колебаний так, чтобы установилась максимальная амплитуда колебаний, с профилем амплитуды, показанном на рисунке 1.

    Рисунок

    Рис. 1. Колебания пружины на наименьшей резонансной частоте

    Теоретически период колебаний пружины на первой резонансной частоте зависит от параметров пружины и ее растяжения по закону:

    \[T \sim l^{a} N^{b} m^{c} \qquad(1)\]где \(l\) – длина пружины, \(N\) – число витков в пружине, \(m\) – масса одного витка пружины, \(a, b, c\) – целые или дробные степени.

    A1. Закрепите один конец пружины на столе или стуле. Растяните 30 витков пружины в вертикальном положении. Снимите зависимость периода колебаний пружины от длины пружины, при неизменном количестве витков в ней. То есть для изменения длины пружины, измените ее силу натяжения. Сделайте вывод об измеренной зависимости. Определите степень \(a\).

    A2. Снимите зависимость периода колебаний пружины от количества витков в ней. Предложите координаты графика измеренной зависимости, в которых экспериментальные точки будут ложиться на прямую. Определите степень \(b\). Постройте линеаризированный график, полученной зависимости, определите его угловой коэффициент.

    A3. Определите степень \(c\) в зависимости \((1)\). Опишите использованный вами метод.

    Оборудование

    1. Весы

    2. Пружинка «слинки»

    3. Силиконовая трубочка с разрезом

    4. Секундомер

    5. Канцелярский зажим

    6. Линейка

    7. Мерная лента

    8. Стакан \(0.5~л\)

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    A1: \[a=0\];  A2: Построим график зависимости \(T(N)\). График хорошо аппроксимируется прямой. Следовательно, \(b=1\). Определим угловой коэффициент графика.\[A_{1}=(1.76 \pm 0.06) \cdot 10^{-2}~с \qquad(2)\] \[A_{1}=(1.76 \pm 0.06) \cdot 10^{-2}~с\]

    Решение

    A1. Измерим 50 периодов колебаний для трех разных длин пружины. Заметим, что период не зависит от длины пружины. Делаем вывод, что степень \(a=0\).

    Малое удлинениеСреднее удлинениеБольшое удлинение
    \(27.16~с\)\(26.57~с\)\(26.94~с\)

    Ответ:

    \[a=0\]

    A2. Измерим зависимость периода колебаний от количества витков в пружине.

    Ответ:

    \(N\)\(50\cdot T,~с\)\(T,~с\)
    207.40.37
    2511.30.45
    3015.90.53
    3522.10.63
    4028.80.72

    Ответ:

    Построим график зависимости \(T(N)\). График хорошо аппроксимируется прямой. Следовательно, \(b=1\). Определим угловой коэффициент графика.\[A_{1}=(1.76 \pm 0.06) \cdot 10^{-2}~с \qquad(2)\]

    Ответ:

    Рисунок

    График зависимости \(T\) от \(N\)

    Ответ:

    \[A_{1}=(1.76 \pm 0.06) \cdot 10^{-2}~с\]

    A3. Измерим массу силиконовой трубки: \[m_{0}=(93.79 \pm 0.03)~г \qquad(3)\] Количество витков в пружине \(N=40\). Масса всей пружины \(M=(41.96 \pm 0.03)~г\). Таким образом, масса одного витка пружины: \[m=(1.023 \pm 0.001)~г \qquad(4)\] Наденем силиконовую трубку на пружину. Ее длины хватает на 10 витков пружины. Масса десяти витков пружины \(10m=(10.23 \pm 0.01)~г\). Вместе с силиконом масса этих \(10 m+m_{0}=(104.2 \pm 0.04)~г\). Таким образом, масса одного витка пружины увеличилась в \(1+{m_{0}}/{10 m}=10.18 \pm 0.01\).

    Измерим время 50 периодов колебаний 10 витков пружины с надетой силиконовой трубкой \(50 T^{\prime}=26.2 \pm 0.3\) с. И определим время 50 колебаний 10 витков пружины по графику зависимости периода колебаний от количества витков в пружине (непосредственное измерение затруднительно, так как период колебания слишком мал) \(50 T^{\prime}=9.4 \pm 0.3\). Отношение периодов колебаний тогда составит \({T^{\prime}}/{T}=2.79 \pm 0.15\). Наиболее близкая целая степень, в которую необходимо возвести отношение периодов, чтобы получить отношение масс витков пружины с трубочкой и без равна \(2\).

    Таким образом, степень \(c=0.5\).

    Ответ:

    \[c=0.5\]

    Источник: pho.rs/p/4189.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх