Шарики на цилиндре

Нить нерастяжима, поэтому оба шарика движутся с одинаковой по модулю скоростью. Отрыв лёгкого шарика от цилиндра означает обращение силы реакции в ноль; сила давления максимальна там, где максимальна функция \(N(\varphi)\).

Пусть лёгкий шарик \(m\) находится в точке \(A\), а тяжёлый \(M\) опустился на высоту \(h = R\varphi\). Нить нерастяжима, поэтому до отрыва \(v_1 = v_2 = v\). По закону сохранения энергии \[-MgR\varphi + mgR\sin\varphi + \frac{(m+M)v^2}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad v^2(\varphi) = \frac{2gR}{m+M}\left(M\varphi - m\sin\varphi\right).\]

Второй закон Ньютона для лёгкого шарика в проекции на направление к оси цилиндра: \[mg\sin\varphi - N(\varphi) = \frac{mv^2(\varphi)}{R},\] откуда \[N(\varphi) = mg\sin\varphi - \frac{mv^2(\varphi)}{R} = g\,\frac{3m^2\sin\varphi + mM\sin\varphi - 2mM\varphi}{m+M}.\]

Отрыв при \(\varphi = 1{,}0\) рад означает \(N = 0\): \[\frac{M}{m} = \frac{3\sin\varphi}{2\varphi - \sin\varphi} = 2{,}18.\]

Сила давления максимальна, когда \(N(\varphi)\) максимальна: \(dN/d\varphi = 0\). Получаем \[\cos\varphi' = \frac{2M/m}{3 + M/m} \quad\Rightarrow\quad \varphi' = \arccos\frac{2M/m}{3 + M/m} \approx 0{,}57\ \text{рад}.\]

Скорость в этой точке: \[v'^2 = \frac{2gR}{1 + M/m}\left(\frac{M}{m}\varphi' - \sin\varphi'\right), \qquad v' \approx 24\ \text{см/с}.\]