Горячая пластина

Нагретая пластина остывает по экспоненте: показатель определяется отношением теплоёмкости к тепловому сопротивлению, поэтому линеаризуйте \(\ln(T-T_0)\) от времени. Прокладки добавляют последовательное тепловое сопротивление, и по разности показателей для разного числа слоёв его можно выделить.

i) \(\varepsilon\approx0{,}06\pm0{,}01\);  ii) \(H\approx38\) мВт/К (то есть \(h\approx23{,}6\) Вт/(м\(^2\cdot\)К));  iii) \(C\approx16{,}5\) Дж/К;  iv) \(\kappa\approx0{,}066\) Вт/(м\(\cdot\)К).

i) Обе алюминиевые пластины погружали в горячую воду до достижения теплового равновесия, затем вынимали, вытирали бумажной салфеткой и измеряли инфракрасным термометром. Пластины отличаются только покрытием поверхности, поэтому в горячей воде они должны были принять одну и ту же настоящую температуру. Результаты измерений:

Инфракрасный термометр измеряет температуру по тепловому излучению, и, как нам сказали, он откалиброван для излучательной способности \(\varepsilon=1\) (на самом деле он откалиброван для \(\varepsilon=0{,}95\), но это различие несущественно). Нам также сказали, что мощность излучения можно линеаризовать: \(P_{\text{тепл}}=P_0+\alpha T\). Объекты с \(\varepsilon<1\) излучают \(P_\varepsilon=\varepsilon(P_0+\alpha T_\varepsilon)\), но они ещё и отражают/рассеивают излучение, падающее на них из окружающей среды. Если комната более или менее находится в тепловом равновесии при температуре \(T_0\), то комната заполнена фотонами, находящимися в тепловом равновесии со стенами при температуре \(T_0\). Если бы пластина была чёрной и тоже имела температуру \(T_0\), она находилась бы в равновесии с излучением и излучала бы \(P=P_0+\alpha T_0\); значит, падающего излучения от окружающей среды должно быть столько же независимо от её настоящей излучательной способности и температуры. Как следует из второго закона термодинамики, коэффициент отражения должен быть равен \(1-\varepsilon\), так что она отражает/рассеивает мощность \(P_r=(1-\varepsilon)(P_0+\alpha T_0)\). Это означает, что полная уходящая от неё мощность равна \(P_\varepsilon+P_r=P_0+\varepsilon\alpha T_\varepsilon+(1-\varepsilon)\alpha T_0\). ИК-термометр считает, что это абсолютно чёрное тело, и приравнивает эту мощность к \(P_0+\alpha T_{\text{показ}}\), поэтому показание — средневзвешенное:

\[T_{\text{показ}}=\varepsilon\cdot T_\varepsilon+(1-\varepsilon)\cdot T_0.\] Так как у чёрной пластины \(\varepsilon=1\), её показание напрямую даёт настоящую температуру обеих пластин. Выражая излучательную способность: \[\varepsilon=\frac{T_{\text{полир}}-T_0}{T_{\text{чёрн}}-T_0}.\] Вычисляя для каждого измерения: \[\varepsilon_1=\frac{26{,}2-22{,}9}{70{,}9-22{,}9}=0{,}069,\quad \varepsilon_2=\frac{26{,}0-22{,}9}{70{,}7-22{,}9}=0{,}065,\quad \varepsilon_3=\frac{25{,}4-22{,}9}{70{,}2-22{,}9}=0{,}053.\] Берём среднее: \(\varepsilon=\dfrac{0{,}069+0{,}065+0{,}053}{3}=0{,}062\approx0{,}06\). Излучательная способность полированной алюминиевой пластины равна \(\varepsilon=0{,}06\pm0{,}01\).

ii) Решение 1. Основная идея — нагреть пластину резистором. Когда достигнуто тепловое равновесие и температура пластины равна \(T=T_{\mathrm f}\), мощность нагрева \(P=V^2/R\) равна мощности, отдаваемой в окружающую среду, \(H(T_{\mathrm f}-T_0)\) (где \(T_0\) — комнатная температура), следовательно, коэффициент теплообмена можно определить как \(H=\dfrac{V^2/R}{T_{\mathrm f}-T_0}\). Главная трудность этого подхода в том, что характерное время установления равновесия велико, около 7 минут, поэтому для более или менее точного измерения нужно ждать около получаса.

Решение 2. Чтобы избежать долгого ожидания, можно применить следующий подход. Хотя он включает более сложный анализ данных, результаты анализа можно повторно использовать в пункте iii. Чёрную алюминиевую пластину положили на пенопласт с резистором под ней, обеспечивающим непрерывный нагрев. Показания температуры записывали с интервалом в одну минуту (в первой строке — время в минутах, во второй — измеренная температура в \(^\circ\)C):

При нагреве постоянной мощностью температура изменяется по закону \(T=T_{\mathrm f}-\theta e^{-\gamma t}\), где \(T_{\mathrm f}\) — конечная равновесная температура, \(\theta\) — постоянная, зависящая от начальной температуры, а \(\gamma\) — величина, обратная характерной постоянной времени. Чтобы определить \(\gamma\), рассмотрим последовательные приращения температуры \(T(t+\tau)-T(t)=\theta e^{-\gamma t}\left(e^{\gamma\tau}-1\right)\) при \(\tau=1\) мин; они должны убывать экспоненциально, то есть \(\ln\Delta T\equiv\ln[T(t+\tau)-T(t)]=-\gamma t+\text{const}\) должно быть линейной функцией времени.

На рисунке: Time (min) — время, мин; \(\ln[T(t+1)-T(t)]\) — логарифм приращения температуры за минуту.

Линейная регрессия \(\ln[T(t+1)-T(t)]\) от \(t\) даёт: \[\ln[T(t+\tau)-T(t)]=1{,}0333-0{,}1378\,t\] при \(R^2=0{,}9209\), что указывает на хорошее согласие. Таким образом, получаем \(\gamma=0{,}1378\) мин\(^{-1}\), что соответствует постоянной времени системы \(1/\gamma\approx7{,}3\) мин.

Теперь построим график \(T\) от \(e^{-\gamma t}\) и найдём \(T_{\mathrm f}\) как пересечение с осью при \(e^{-\gamma t}=0\): \(T=T_{\mathrm f}-\theta e^{-\gamma t}\). Вычисление \(e^{-0{,}1378\,n\tau}\), \(n=0,\dots,6\), даёт \(e^{-\gamma n\tau}\in\{1{,}00;\ 0{,}87;\ 0{,}76;\ 0{,}66;\ 0{,}58;\ 0{,}50;\ 0{,}44\}\); соответствующий график приведён ниже.

На рисунке: Temperature (°C) — температура, °C; \(e^{-\gamma t}\) — по горизонтальной оси; 0 min…6 min — 0 мин…6 мин; \(T_f\approx49{,}9\,^\circ\)C — конечная температура; \(T=49{,}9-22{,}0\cdot e^{-0{,}1378t}\), \(R^2=0{,}9995\) — уравнение прямой и достоверность аппроксимации.

Линейная регрессия \(T\) от \(e^{-\gamma t}\) даёт \(T_{\mathrm f}\approx49{,}9\,^\circ\)C, как показано на рисунке; уравнение: \[T=49{,}9-22{,}0\cdot e^{-0{,}1378\,t}\] при \(R^2=0{,}9995\), что указывает на отличное согласие. При тепловом равновесии рассеиваемая мощность равна подводимой: \[P=\frac{U^2}{R}=h\cdot A\cdot(T_{\mathrm f}-T_0)=H\cdot(T_{\mathrm f}-T_0),\] где \(h\) — коэффициент теплопередачи на единицу площади, \(H\) — полный коэффициент теплопередачи, \(A\) — площадь пластины, \(U\) — приложенное напряжение, а \(R\) — сопротивление резистора. Используя \(U=15\) В, \(R=220\) Ом, \(A=40\times40\text{ мм}^2=1{,}6\times10^{-3}\) м\(^2\) и \(T_0=22{,}9\,^\circ\)C, получаем \[h=\frac{U^2/R}{A\cdot(T_{\mathrm f}-T_0)}\approx23{,}6\text{ Вт/(м}^2\cdot\text{К)}.\] Полный коэффициент теплопередачи равен \[H=h\cdot A=37{,}8\text{ мВт/К}.\]

iii) Решение 1. Чтобы определить теплоёмкость, можно использовать кривую нагрева из части ii. Во время нагрева баланс энергии записывается как \[P_{\text{вх}}-P_{\text{вых}}\equiv\Delta P=C\frac{dT}{dt},\] где \(P_{\text{вх}}=U^2/R\) — подводимая мощность, \(P_{\text{вых}}=H(T-T_0)\) (где \(T_0=T_{\text{комн}}\) — комнатная температура) — мощность потерь в окружающую среду, \(C\) — теплоёмкость, а \(dT/dt\) — скорость изменения температуры. Используя нашу экспоненциальную модель \(T=T_{\mathrm f}-\theta e^{-\gamma t}\), находим: \[\frac{dT}{dt}=\theta\gamma e^{-\gamma t}=\gamma(T_{\mathrm f}-T).\] Подставляя в баланс энергии, получаем \(P_{\text{вх}}-H(T-T_0)=C\gamma(T_{\mathrm f}-T)\). Это позволяет вычислить теплоёмкость \(C\): \[C=\frac{P_{\text{вх}}-H(T-T_0)}{\gamma(T_{\mathrm f}-T)}.\] Теперь нужно использовать значения из частей i и ii: \(U=15\) В, \(R=220\) Ом, \(H=3{,}78\times10^{-2}\) Вт/К, \(T_0=22{,}9\,^\circ\)C, \(T_{\mathrm f}=49{,}9\,^\circ\)C, \(\gamma=0{,}1378\) мин\(^{-1}\). Подводимая мощность: \(P_{\text{вх}}=\dfrac{U^2}{R}=\dfrac{15^2}{220}=1{,}023\) Вт. Для каждой точки по времени можно вычислить:

Значения теплоёмкости удивительно хорошо согласуются в разных точках по времени, что подтверждает нашу модель. Среднее значений из таблицы даёт \(C\approx16{,}5\) Дж/К. Это значение представляет теплоёмкость алюминиевой пластины. Для справки: удельная теплоёмкость алюминия приблизительно \(c_{\mathrm{Al}}=900\) Дж кг\(^{-1}\) К\(^{-1}\), откуда масса пластины около \(C/c_{\mathrm{Al}}=18{,}3\) г. Это разумное значение для алюминиевой пластины \(40\text{ мм}\times40\text{ мм}\) толщиной около 2 мм.

Решение 2. Вычисленная теплоёмкость представляет эффективную теплоёмкость системы, наблюдаемую в эксперименте. Она включает алюминиевую пластину и, возможно, некоторый вклад нагревательного резистора и его крепления. Поэтому несколько лучше выполнить дополнительную серию измерений и получить кривую остывания (аналогичную тем, что будут получены в следующем разделе), потому что тогда можно дать пластине остывать на плоском участке пенопласта, исключив тем самым вклад теплоёмкости резистора. Если часть ii решалась по решению 1, то это единственный пригодный путь.

Итак, мы нагреваем пластину (проще всего — погружением в горячую воду) и измеряем время и температуру по мере её остывания. В результате получаем данные о \(T(t)\); уравнение баланса энергии \[P_{\text{вых}}=H[T(t)-T_0]=-C\frac{dT}{dt}=\gamma C[T(t)-T_0],\] следовательно, \[C=H/\gamma.\] Как и в решении 1, мы использовали тот факт, что пластина остывает экспоненциально по времени, а значит, \(\dfrac{dT}{dt}=\gamma[T(t)-T_0]\). Скорость затухания можно найти, построив график \(\ln[T(t)-T_0]\) от \(t\) и определив наклон линии подгонки.

iv) В этой части проводились опыты по остыванию алюминиевой пластины, покрытой разным числом слоёв силиконовой резины. Пластину нагревали в воде и затем давали ей остывать, записывая температуру как функцию времени.

*Точка данных при \(t=0\) для 2 слоёв исключена, так как она не соответствовала полному тепловому равновесию между слоями силикона. При остывании в условиях постоянной температуры окружающей среды температура следует экспоненциальному спаду: \[T(t)=T_0-(T_{\text{нач}}-T_0)e^{-\gamma t}.\] Постоянная времени \(\gamma\) связана с тепловым сопротивлением \(R\) и теплоёмкостью \(C\) соотношением \(\gamma=\dfrac1{RC}\). Логарифмирование разности температур относительно окружающей среды даёт \(\ln[T(t)-T_0]=-\gamma t+\text{const}\).

На рисунке: Time (s) — время, с; \(\ln(T-T_0)\) — логарифм разности температур; 1 layer, 2 layers, 3 layers — 1 слой, 2 слоя, 3 слоя.

Применяя линейную регрессию к логарифмическим кривым остывания, получаем: \[\gamma_{1\text{ слой}}=2{,}244\times10^{-3}\text{ с}^{-1},\quad \gamma_{2\text{ слоя}}=1{,}852\times10^{-3}\text{ с}^{-1},\quad \gamma_{3\text{ слоя}}=1{,}438\times10^{-3}\text{ с}^{-1}.\] Используя ранее определённую теплоёмкость \(C=16{,}5\) Дж/К, вычисляем полное тепловое сопротивление для каждого случая: \[R_{1\text{ слой}}=\frac1{\gamma_{1\text{ слой}}\cdot C}=27{,}0\text{ К/Вт},\quad R_{2\text{ слоя}}=\frac1{\gamma_{2\text{ слоя}}\cdot C}=32{,}7\text{ К/Вт},\quad R_{3\text{ слоя}}=\frac1{\gamma_{3\text{ слоя}}\cdot C}=42{,}1\text{ К/Вт}.\] Полное тепловое сопротивление включает сопротивление силиконовых слоёв и тепловое сопротивление конвекции и излучения. Каждый дополнительный слой добавляет сопротивление \(\Delta R=\delta/(\kappa A)\), где \(\delta\) — толщина слоя, \(\kappa\) — теплопроводность, \(A\) — площадь. Приращения сопротивления между слоями: \[\Delta R_{12}=R_{2\text{ слоя}}-R_{1\text{ слой}}=5{,}7\text{ К/Вт},\qquad \Delta R_{23}=R_{3\text{ слоя}}-R_{2\text{ слоя}}=9{,}4\text{ К/Вт}.\] Берём среднее приращение сопротивления на слой: \[\Delta R=\frac{\Delta R_{12}+\Delta R_{23}}{2}=7{,}6\text{ К/Вт}.\] При толщине силиконовой резиновой прокладки \(\delta=0{,}8\) мм \(=8\times10^{-4}\) м и площади \(A=40\times40\text{ мм}^2=1{,}6\times10^{-3}\) м\(^2\) можно вычислить теплопроводность: \[\kappa=\frac{\delta}{\Delta R\cdot A}=0{,}066\text{ Вт/(м}\cdot\text{К)}.\] Точность этого эксперимента можно повысить более долгими опытами и добавлением новых слоёв силикона.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.