Пружина

Как меняется жёсткость пружины, если изменить число её рабочих витков? Какой график, построенный по измерениям, даст одновременно \(N\) и \(k_1\)?

Способ 1. Количество витков, задействованных при растяжении, меняем, перемещая пластину, к которой крепится крючок. Обозначим \(N\) — общее количество витков в пружине, \(n\) — количество витков, на которое пружина укорочена.

Закрепим рядом линейкой пружину с грузом на штативе, а под груз поставим весы. Опуская муфту штатива, ослабляем натяжение пружины и увеличиваем нагрузку на весы. Обозначим \(M\) — показание весов, \(m_0\) — масса груза, \(F = (m_0 - M)g\) — сила натяжения пружины. При различных \(n\) снимаем зависимость длины внешней части пружины \(L\) от силы натяжения \(F\) и строим её график. Ниже представлен график \(F(L)\) для \(n = 6\), из которого получаем коэффициент жёсткости пружины, укороченной на \(n = 6\) витков: \(k_6 \approx 25{,}4\) Н/м.

Результаты для разных \(n\) приведены в таблице:

Коэффициент жёсткости пружины, состоящей из \(N - n\) витков, равен \(k_{\text{пр}} = \dfrac{k_1}{N - n}\), где \(k_1\) — коэффициент жёсткости одного витка. Откуда \[\frac{1}{k_{\text{пр}}} = \frac{N}{k_1} - \frac{n}{k_1}.\] Ниже представлен график зависимости \(1/k_{\text{пр}}\) от \(n\), который является линейной функцией. По наклону прямой определяем \(k_1 = 1710\) Н/м, а по пересечению прямой с вертикальной осью находим \(N = 0{,}042\,k_1 = 72\) витка. Случайная погрешность определения \(k_1\) составила 12 %. Получаем \(k_1 = 1710 \pm 200\) Н/м.

Способ 2. Пусть расстояние от точки крепления пружины внутри экрана до нижнего края экрана равно \(L_0\), а выступающей из экрана части пружины — \(L_1\). Одновременно с измерением зависимости \(L_1\) от силы растяжения полной пружины \(F\) определяем количество витков \(m\) на длине \(L_1\). Из пропорции \(\dfrac{L_0 + L_1}{N} = \dfrac{L_1}{m}\) получаем \[\frac{1}{m} = \frac{1}{N} + \frac{L_0}{L_1 N}.\] Линейный график в осях \(1/L_1\), \(1/m\) отсекает значение \(1/N\) на вертикальной оси. Для пружины, измеренной первым способом, вторым способом получен результат \(N = 69\). По зависимости \(L_1(F)\) определяем коэффициент жёсткости полной пружины \(k_N = 24{,}5\) Н/м, а коэффициент жёсткости одного витка \(k_1 = k_N N = 1690\) Н/м.