Робот на магнитных колёсах у купола

Разложите силы на составляющие вдоль касательной к куполу и вдоль нормали к нему. Робот не соскальзывает, пока проекция силы тяжести на касательную не превышает силу трения. Затем найдите угол, при котором это требование самое жёсткое.

\(F_{\min}=\sqrt{2}\,mg\approx 990\) Н (при угле \(\alpha=45^\circ\)).

Для того чтобы робот мог добраться до вершины, он не должен соскальзывать с внутренней поверхности купола. Робот удерживается на поверхности за счёт силы притяжения магнитов и движется с очень маленькой скоростью вдоль поверхности за счёт силы трения между колёсами и куполом.

Обозначим \(F\) — силу притяжения магнитов к поверхности купола, \(N\) — силу реакции опоры, \(\alpha\) — угол наклона касательной к куполу в точке нахождения робота. Сумма сил, действующих на робота, в каждый момент времени равна нулю. Запишем второй закон Ньютона для робота в проекциях на взаимно перпендикулярные оси, одна из которых параллельна наклонной плоскости, касательной к сфере в точке нахождения робота: \[\begin{cases} F = N + mg\cos\alpha,\\ F_{\text{тр}} = mg\sin\alpha. \end{cases}\] Из первого уравнения \(N = F - mg\cos\alpha\). Если составляющая силы тяжести вдоль наклонной плоскости \(mg\sin\alpha\) для любого угла \(\alpha\) не превышает максимально возможную силу трения \(\mu N\), то робот сможет добраться до вершины. Это условие запишем так: \[\mu N \ge mg\sin\alpha.\] Подставляя выражение для \(N\), получаем \(\mu(F - mg\cos\alpha) \ge mg\sin\alpha\), откуда \[F \ge \dfrac{mg}{\mu}\left(\sin\alpha + \mu\cos\alpha\right).\] При \(\mu = 1\) имеем \(F \ge mg(\sin\alpha + \cos\alpha)\). Это неравенство должно выполняться для любого угла \(\alpha\) от \(0\) до \(90^\circ\), поэтому нужно найти угол, при котором правая часть максимальна. Сумма синуса и косинуса одного и того же угла достигает максимума при \(\alpha = 45^\circ\). Таким образом, \[F_{\min} = \sqrt{2}\,mg \approx 990~\text{Н}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.