Два автомобиля на маршруте A–B
Пункты \(A\) и \(B\) связывают две дороги одинаковой протяжённости: одна хорошая с разрешенной скоростью \(v = 90\) км/час, другая плохая с разрешенной скоростью \(u = 70\) км/час. Два автомобиля движутся по постоянному маршруту: по плохой дороге из \(A\) в \(B\), затем по хорошей в обратном направлении. Расписание движения диктует минимальную скорость автомобилей \(70\) км/час. Первый автомобиль движется с максимальной дозволенной скоростью. В некоторый момент времени, когда первый автомобиль находился в пункте \(A\), а второй — в пункте \(B\), водителю второго автомобиля передали посылку, которую он должен лично отдать водителю первого автомобиля. Сколько раз первый автомобиль посетит пункт \(B\), прежде чем его водитель получит посылку? Временем стоянки в конечных пунктах пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУдобно перейти в систему отсчёта, связанную со вторым автомобилем, и считать, на сколько сокращается отставание первого автомобиля за один проезд из \(B\) в \(A\). Сравните это сокращение с начальным отставанием, равным расстоянию \(AB\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(5\) раз.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеПо условию задачи второй автомобиль всё время движется с постоянной скоростью \(70\) км/час. Рассмотрим движение первого автомобиля относительно второго. Можно считать, что в начальный момент времени первый автомобиль отставал от второго на расстояние \(L\) (км), равное расстоянию между пунктами \(A\) и \(B\). Каждый переход из пункта \(B\) в пункт \(A\) первый автомобиль совершает за время \(t_1=L/90\) ч, двигаясь со скоростью \(20\) км/час относительно второго автомобиля, и сокращает за это время расстояние между автомобилями на \(\Delta L=20\cdot t_1=\dfrac{2}{9}L\). Поскольку \(L/\Delta L=9/2=4{,}5\), первый автомобиль догонит второй, когда число его стартов из пункта \(B\) будет равно пяти. За первые четыре прохождения расстояния \(BA\) первый автомобиль сокращает расстояние между автомобилями на \(\dfrac{8}{9}L\). Для преодоления оставшегося расстояния \(\dfrac{1}{9}L\) первому автомобилю надо ещё пятый раз пройти через пункт \(B\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Коробка на ленте Всесоюзная 1982/83, заключительный этап, 9 кл.
- Автомобили на плохой дороге Белорусская 1990/91, заключительный этап, 10 кл.
- Относительная скорость автомобилей МОШ 2000/01, заключительный этап, 9 кл.
- Бегуны по кругу МОШ 2011/12, заключительный этап, 7 кл.
- Эскалатор МОШ 2011/12, отборочный этап, 7 кл.
- Змейка и ворота МОШ 2011/12, отборочный этап, 8 кл.