Поршень, пружина и утечка гелия

В конце процесса пружина расслаблена, и её энергия переходит в тепло конструкции. Газ в конце занимает весь цилиндр: запишите его внутреннюю энергию до и после процесса, затем объединённый газовый закон и закон сохранения энергии.

\(P_1=\dfrac{P\left(P^2S^2+3PShk+2cTk\right)}{2k\left(3PSh+2cT\right)}\).

В конце процесса давления газа справа и слева от поршня сравняются, и первоначально сжатая на величину \(x = \dfrac{PS}{k}\) пружина расслабится. Энергия сжатой пружины \(\dfrac{kx^2}{2}\) преобразуется в тепловую энергию, что приведёт к нагреву конструкции.

Изменение внутренней энергии газа равно \(\Delta U = \dfrac{3}{2}\left(2P_1Sh - PSh\right)\), а на нагрев конструкции тратится \(\Delta Q = c\left(T_1 - T\right)\) тепла. Здесь \(T_1\) — конечная температура, \(P_1\) — искомое конечное давление.

Температура в конце процесса связана с давлением газа \(P_1\) объединённым газовым законом: \[T_1 = \dfrac{2TP_1}{P}.\] Из закона сохранения энергии \[\dfrac{(PS)^2}{2k} = 3P_1Sh - \dfrac{3PSh}{2} + cT\left(\dfrac{2P_1}{P} - 1\right).\] Отсюда \[P_1 = \dfrac{P\left(P^2S^2 + 3PShk + 2cTk\right)}{2k\left(3PSh + 2cT\right)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.