Скольжение по полусфере, гладкая и шероховатая половины

В нижней точке у тела есть и нормальное, и тангенциальное ускорение. Найдите скорость из закона сохранения энергии на гладком участке, затем силу реакции и силу трения.

В нижней точке полусферы тело переходит на шероховатую поверхность, и его скорость меняется по величине и направлению. Поэтому у тела есть нормальное ускорение \(a_n\) (к центру полусферы) и тангенциальное ускорение \(a_\tau\) (против скорости).

Скорость тела в нижней точке найдём по теореме об изменении кинетической энергии: \[\frac{mv^2}{2} = mgR, \qquad v = \sqrt{2gR}.\] Тогда нормальное ускорение \[a_n = \frac{v^2}{R} = 2g.\] Сила трения по закону Кулона–Амонтона \(F_{тр} = \mu N\), где \(N\) — сила реакции в нижней точке. Из проекции второго закона Ньютона на направление к центру полусферы: \[ma_n = N - mg \quad\Rightarrow\quad N = 3mg, \qquad F_{тр} = 3\mu mg.\] Тангенциальное ускорение \(a_\tau = \dfrac{F_{тр}}{m} = 3\mu g\). Полное ускорение \[a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = \sqrt{4g^2 + 9\mu^2g^2} = g\sqrt{4+9\mu^2}.\]