Лодка по замкнутому маршруту А-В-С

Докажите, что время движения лодки по замкнутому маршруту не зависит от направления обхода, если рассмотреть малый участок пути между двумя близкими прямыми, перпендикулярными берегам.

Докажем, что времена движения лодки по замкнутой траектории при прохождении её по и против часовой стрелки одинаковы, даже если траектория несимметрична относительно течения.

Рассмотрим малый участок траектории между двумя близкими прямыми, перпендикулярными берегам. Пусть участок расположен под углом \(\theta\) к течению и имеет длину \(x\); расстояние между прямыми \(l = x\cos\theta\). Время движения по участку туда и обратно находится из \(t = x/v\), где \(v\) — скорость лодки относительно берега, которая по закону сложения скоростей \(\vec v = \vec v_0 + \vec u\) (\(\vec v_0\) — скорость лодки относительно воды, \(\vec u\) — скорость течения). Из треугольников скоростей находим \(v_{туда}\) и \(v_{обратно}\). В результате разность времён прохождения участка «туда» и «обратно» зависит только от \(l\), скоростей \(v_0\) и \(u\), но не от угла \(\theta\) наклона участка к течению.

Траектория замкнута, поэтому между этими же прямыми есть ещё один малый участок, который лодка проходит в противоположном направлении, и для него разность времён имеет противоположный знак. Суммарное время прохождения по двум таким участкам при движении по и против часовой стрелки одинаково. Следовательно, время движения по любой замкнутой траектории не зависит от направления обхода.

Поэтому времена движения лодки по маршрутам \(A\)–\(B\)–\(C\)–\(A\) и \(A\)–\(C\)–\(B\)–\(A\) одинаковы при любом соотношении скорости лодки в стоячей воде и скорости течения.