Шарики в сферической выемке

Полная механическая энергия системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, сохраняется, так как выемка гладкая и работа сил реакции стенок, в любой момент времени перпендикулярных скоростям шариков, равна нулю: \(E=E_K+E_P=\text{const}\).

В начальный момент и момент подъёма на максимальную высоту \(H\) кинетическая энергия системы равна нулю, поэтому её потенциальная энергия в эти моменты времени одинакова: \(E_P^{\text{нач}}=E_P^{\text{кон}}\). Начальное положение системы изображено на рис. 1, а конечное — на рис. 2.

Если отсчитывать потенциальную энергию от нижней точки выемки, то начальная потенциальная энергия системы \(E_P^{\text{нач}}=mgR\), а её конечная потенциальная энергия \(E_P^{\text{кон}}=mgh+MgH\). Закон сохранения энергии приводит к уравнению \(mgR=mgh+MgH\), из которого следует, что \((R-h)=\dfrac{M}{m}H\).

При движении гантели по поверхности выемки высота подъёма большого и малого грузов связаны. Заметим, что в прямоугольных треугольниках \(OmA\) и \(OMB\) \(MB=mA=R-h\), \(OA=OB=R-H\), \(OM=Om=R\), и воспользуемся теоремой Пифагора: \((R-h)^2=R^2-(OA)^2=R^2-(R-H)^2\). Отсюда следует: \((R-h)^2=H(2R-H)\).

Подставим сюда выражение \((R-h)=\dfrac{M}{m}H\), полученное из закона сохранения энергии, и получим: \(R=\dfrac{H}{2}\left(1+\dfrac{M^2}{m^2}\right)\).

Подставляя значения физических величин, получим: \(R=6\,(1+4)=30\) см.

Ответ: \(R=30\) см.