Гантель с бусинкой

Перейдите в систему, свободно падающую вместе с гантелью и бусинкой: там они движутся равномерно. Учтите, что при упругом ударе масс \(m+m=2m\) относительная скорость меняет знак, то есть скорости «обмениваются».

Ось направим вверх, начало координат — в середину гантели в исходном положении. Скорости бусинки и гантели равны \(v = V_g(t) + v'\), где \(V_g = -gt\) — свободное падение всей системы, а \(v'\) — скорости в падающей системе отсчёта. В этой системе \(v'_б(0) = V_0\), \(v'_г(0) = 0\); при каждом ударе скорости \(v'_б\) и \(v'_г\) обмениваются значениями. Поэтому скорость \(v'_г\) — кусочно-постоянная, за время между соударениями \(\tau = L/V_0\) она принимает значения \(0\) и \(V_0\), а перемещение гантели в падающей системе за каждый период растёт на \(L\).

Удары о верхний диск происходят при \(t = (2k+1)\tau\), о нижний — при \(t = (2k+2)\tau\). Условие «гантель на исходной высоте» в момент удара: \(-\dfrac{gt^2}{2} + kL = 0\) для верхнего и \(-\dfrac{gt^2}{2} + (k+1)L = 0\) для нижнего. Отсюда получаем приведённый в ответе ответ для \(V_0\) в зависимости от номера удара \(n\).

Во втором пункте при \(L = 1\) м, \(V_0 = 8\) м/с, \(g = 10\) м/с\(^2\) решения сводятся к двум интервалам: \(t_1 = \sqrt{6L/g} \approx 0{,}7746\) с (первый интервал) и \(t_2 = \dfrac{V_0 - \sqrt{V_0^2 - 2gL}}{g} \approx 0{,}1367\) с (второй интервал).