Задачи › Равновесие тел, моменты сил

Куб и поплавок

  1. Куб и поплавок

    Санкт-Петербургская 2024/25, 10 кл.
    7/10

    Куб с ребром \(a\) находится в сосуде с водой, плотно прилегая своей верхней гранью к горизонтальной стенке сосуда (см. рис.). С помощью лёгкой нерастяжимой нити, перекинутой через блок, к центру боковой грани куба привязан лёгкий поплавок. Система находится в равновесии, при этом нижний край поплавка располагается на той же высоте, что и верхняя грань куба, а сам поплавок погружён в воду на глубину \(h\). При каких значениях коэффициента трения \(\mu\) между кубом и горизонтальной стенкой такое возможно? Плотность куба в два раза меньше плотности воды. Площадь сечения поплавка \(S\), масса поплавка пренебрежимо мала. Ускорение свободного падения \(g\). Плотность воды \(\rho\), атмосферное давление \(p_a\). Трение в оси блока отсутствует.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Поплавок: сила натяжения нити равна силе Архимеда. Куб: проверьте и баланс сил, и баланс моментов относительно верхней грани — последний даёт второе, независимое условие.

    Ответ

    Равновесие возможно, если \(\mu_0 \le 1\), где \(\mu_0 = \dfrac{\rho g h S}{\left[p_a + \rho g\left(h+\frac{a}{2}\right)\right]a^2}\); при этом \(\mu \ge \mu_0\). Если \(\mu_0 > 1\), равновесие невозможно ни при каком \(\mu\).

    Решение

    Поплавок лёгкий: натяжение нити \(T = F_A = \rho g h S\). Нить тянет куб горизонтально с силой \(T\), значит, сила трения \(F_{\text{тр}} = T = \rho g h S\).

    На куб сверху действует сила атмосферного давления и давления воды. Сверху воды нет, поэтому равнодействующая давления воды на нижнюю грань \(F = \left[p_a + \rho g(h+a)\right]a^2\). Масса куба \(M = \rho a^3/2\). Вертикальное равновесие даёт \[N = F - Mg = \left[p_a + \rho g\left(h+\tfrac{a}{2}\right)\right]a^2 .\] Условие отсутствия проскальзывания \(F_{\text{тр}} \le \mu N\) даёт \(\mu \ge \mu_0\).

    Условие отсутствия вращения: сила реакции \(N\) приложена на расстоянии \(x \le a/2\) от оси через верхнюю грань, момент силы \(T\) даёт \(Nx = Ta/2\). Поэтому \(T \le N\), т.е. \(\mu_0 = T/N \le 1\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх