Задачи › Сосуды с поршнями, газ и пружина

Жгут

  1. Жгут

    Санкт-Петербургская 2024/25, 10 кл.
    5/10

    Имеется резиновый жгут, который при малых деформациях подчиняется закону Гука: его удлинение \(\Delta L\) пропорционально приложенной к жгуту силе \(F\). На графике ниже представлена связь между силой \(F\) и относительным удлинением жгута \(\varepsilon = \Delta L/L_0\) (\(L_0\) — длина недеформированного жгута). При увеличении силы пропорциональность нарушается, и в точке X происходит разрушение жгута: он рвётся.

    Рисунок

    При помощи этого жгута поршень прикрепили к стенке сосуда, как показано на рис. справа. В сосуде находится идеальный газ, снаружи — вакуум; поршень может двигаться без трения. Газ постепенно нагревают. При какой температуре произойдёт обрыв жгута, если известно, что режим пропорциональности \(F\) и \(\varepsilon\) пропадает при нагреве газа до температуры \(T_\Gamma\)?

    Рисунок

    Примечание: \(F_0\) на графике есть неизвестная константа размерности силы.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Поршень в равновесии: сила давления газа уравновешена силой натяжения жгута. Запишите уравнение состояния газа через \(\varepsilon\) и сравните две точки графика.

    Ответ

    \(T_{\text{кр}} = 1{,}82\,T_\Gamma\).

    Решение

    Поршень неподвижен, поэтому \(pS = F_{\text{упр}}\). Для идеального газа \(pV = \nu RT\), где \(V = S(L_0 + \Delta L) = SL_0(1+\varepsilon)\). Отсюда \[\nu R T = F_{\text{упр}}(\varepsilon)\,L_0(1+\varepsilon).\] Записываем это при \(T = T_\Gamma\) (относительное удлинение \(\varepsilon_\Gamma\)) и при \(T = T_{\text{кр}}\) (удлинение \(\varepsilon_{\text{кр}}\), жгут рвётся): \[\frac{T_{\text{кр}}}{T_\Gamma} = \frac{1+\varepsilon_{\text{кр}}}{1+\varepsilon_\Gamma}\cdot \frac{F_{\text{упр}}(\varepsilon_{\text{кр}})}{F_{\text{упр}}(\varepsilon_\Gamma)}.\] По графику \(\varepsilon_\Gamma = 0{,}5\), \(F_{\text{упр}}(\varepsilon_\Gamma) = 2{,}0\,F_0\); \(\varepsilon_{\text{кр}} = 1{,}1\), \(F_{\text{упр}}(\varepsilon_{\text{кр}}) = 2{,}6\,F_0\). Тогда \[T_{\text{кр}} = \frac{1+1{,}1}{1+0{,}5}\cdot\frac{2{,}6}{2{,}0}\,T_\Gamma \approx 1{,}82\,T_\Gamma .\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх