Термодинамический чёрный ящик

Пакет с воздухом находится при постоянном давлении, поэтому его объём пропорционален температуре. Изменение объёма воздуха можно измерять по уровню воды в пробирке, а температуру — термопарой. Какую величину надо знать, чтобы перейти от объёма к количеству вещества?

Для начала изготовим из пробирки мензурку. От листа миллиметровки отрежем полоску, нарисуем на ней шкалу в сантиметрах. Получившуюся шкалу с помощью скотча прикрепим к пробирке. Далее наберём полный шприц воды и нальём немного воды в пробирку так, чтобы она закрыла нижнюю нецилиндрическую часть. Отметим начальный уровень воды \(h_0\) в пробирке, затем долём в неё определённый объём воды \(V\) из шприца и отметим конечный уровень воды \(h\) в пробирке: \[h_0 = 0{,}0~\text{см}, \quad h = 12{,}6~\text{см}, \quad V = 20{,}0~\text{мл} \quad\Rightarrow\quad S = \frac{V}{h - h_0} = 1{,}59~\text{см}^2.\]

Измерим площадь сечения трубки (без учёта внутренней полости). Для этого обернём трубку полоской миллиметровки и измерим длину окружности (можно сделать два оборота): \[L = 4{,}0~\text{см} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{L}{4\pi}, \qquad S_{\text{тр}} = \pi r^2 = \frac{L^2}{16\pi} = 0{,}32~\text{см}^2.\]

Разобранный шприц присоединяем к длинной трубке и, используя его в качестве воронки, заполняем бутылку горячей водой до тех пор, пока вода не начнёт выливаться из короткой трубки. Теперь отсоединяем шприц от длинной трубки, собираем его, заполняем водой и присоединяем к короткой. В дальнейшем шприц будет играть роль заглушки. Внутрь длинной трубки вставляем термопару так, чтобы её конец уходил внутрь бутылки примерно до её середины. Это позволит измерять температуру воды в бутылке без риска повредить пакет термопарой. Второй конец длинной трубки помещаем в пробирку, предварительно прикреплённую скотчем к бутылке и заполненную водой.

Удаляем воздух из длинной трубки: для этого выдавливаем некоторое количество воды из шприца, присоединённого к короткой трубке.

Вода в бутылке остывает, вместе с ней остывает и воздух, зажатый в пакете; его объём уменьшается, и в бутылку затягивается вода из пробирки. Снимаем зависимость уровня воды в пробирке от температуры воздуха. Из уравнения состояния для воздуха в пакете при постоянном давлении

\[P\,(S - S_{\text{тр}})\,\Delta h = \nu R T\] где \(P\) — атмосферное давление, \(\Delta h\) — изменение уровня воды в пробирке. Экспериментальные данные:

По графику наклон \[k = \frac{\nu R}{P\,(S - S_{\text{тр}})} = 0{,}234~\text{°C/см}.\] Тогда

\[\nu = \frac{k\,P\,(S - S_{\text{тр}})}{R} = \frac{0{,}234 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{5} \cdot (1{,}59 - 0{,}32)\cdot 10^{-4}}{8{,}31}~\text{моль} = 3{,}5~\text{ммоль}.\]

Оценим погрешность. Погрешности определения температуры и высоты \(\sigma_T = 3\) °C и \(\sigma_h = 0{,}1\) см. Из графика \(\sigma_k = (k_{\max} - k_{\min})/2 = 0{,}02\) °C/см. \[\Delta S = \left(\frac{0{,}2}{12{,}6} + \frac{0{,}5}{20}\right)\cdot 1{,}59~\text{см}^2 = 0{,}065~\text{см}^2, \qquad \Delta S_{\text{тр}} = 2\varepsilon_L\, S_{\text{тр}} = 2\cdot\frac{0{,}1}{4{,}0}\cdot 0{,}32 = 0{,}016~\text{см}^2,\] \[\Delta(S - S_{\text{тр}}) = 0{,}08~\text{см}^2, \qquad \varepsilon_\nu = \varepsilon_P + \varepsilon_{S - S_{\text{тр}}} + \varepsilon_k = \frac{1}{100} + \frac{0{,}08}{1{,}27} + \frac{0{,}02}{0{,}23} = 0{,}16,\] \[\sigma_\nu = 0{,}16 \cdot 3{,}5~\text{ммоль} = 0{,}6~\text{ммоль}.\]

Окончательно получаем \(\nu = (3{,}5 \pm 0{,}6)\) ммоль.