Колеблющаяся наклонная плоскость

Установившееся движение тела вдоль плоскости происходит с постоянной скоростью. Сила трения направлена против скорости тела относительно плоскости, поэтому она отклонена от направления наибыстрейшего спуска.

Пусть установившаяся скорость тела \(\vec v_0\) направлена вниз вдоль плоскости. Но относительно плоскости тело будет двигаться под некоторым углом \(\beta\) к направлению наибыстрейшего спуска (в течение половины периода в одну сторону, в течение другой половины — в другую).

Сила трения, действующая на тело со стороны плоскости, противоположна скорости тела относительно плоскости. Поэтому сила трения также направлена под углом \(\beta\) к направлению наибыстрейшего спуска (но вверх). В установившемся режиме проекция силы трения на направление наибыстрейшего спуска компенсирует составляющую силы тяжести вдоль плоскости, равную \(mg\sin\alpha\): \[\mu mg\cos\alpha\cos\beta = mg\sin\alpha .\] Отсюда \[\cos\beta = \frac{\mathrm{tg}\,\alpha}{\mu} .\] А поскольку \[\mathrm{tg}\,\beta = \frac{v}{v_0} ,\] из формулы для \(\cos\beta\) находим \[v_0 = \frac{v\,\mathrm{tg}\,\alpha}{\sqrt{\mu^2 - \mathrm{tg}^2\alpha}} .\]