Обход квадрата за минимальное время

В вершинах радиус поворота стремится к нулю, поэтому скорость в вершинах должна быть нулевой. Найдите время разгона и торможения на одной стороне.

Чтобы время прохода было минимальным, у тела должна быть максимальная скорость, но при повороте в вершине (поскольку радиус поворота \(\to 0\)) \(a \to \infty\), если только скорость тела не равна нулю. Поэтому в вершинах тело должно иметь нулевую скорость. Значит, тело будет двигаться так: стартуя из вершины с нулевой начальной скоростью, тело разгоняется с максимальным ускорением до середины стороны, а затем тормозит с максимальным ускорением, чтобы попасть в вершину с нулевой скоростью. Поэтому время достижения середины стороны находится из уравнения \[\frac{d}{2} = \frac{a t_0^2}{2} \quad\Rightarrow\quad t_0 = \sqrt{\frac{d}{a}} .\] Время прохождения стороны квадрата вдвое больше, периметра — в восемь раз больше, а двух периметров — в шестнадцать раз больше времени \(t_0\): \[t = 16\,t_0 = 16\sqrt{\frac{d}{a}} .\]