Центр тяжести обтачиваемой заготовки

Центр тяжести сместится максимально, когда он совпадает со стыком частей заготовки. Найдите положение стыка из условия равенства моментов масс частей относительно него.

В процессе обработки заготовка представляет собой два состыкованных соосных цилиндра с радиусами \(R\) и \(3R/4\) (см. рисунок). И центр тяжести заготовки в процессе её обработки смещается, поскольку до обработки центр тяжести заготовки находится посередине, а, например, в положении, показанном на рисунке, центр тяжести заготовки находится левее её середины. Докажем, что максимальным смещение центра тяжести будет в таком положении, в котором центр тяжести совпадает с положением резца (стыка между двумя частями заготовки).

Действительно, пусть центр тяжести находится левее положения резца (стыка частей). Если в этом положении резец срежет какой-то небольшой объём заготовки, то её центр тяжести сместится влево, поскольку мы уменьшаем часть заготовки справа от центра тяжести. Если центр тяжести находится слева от резца, то при дальнейшей обработке заготовки центр тяжести будет перемещаться вправо. Т.е. пока резец при обработке заготовки с правого конца не «дошёл» до её центра тяжести, центр тяжести движется влево, когда «перешёл» — вправо. Это значит, что максимальным смещение центра тяжести будет тогда, когда он совпадает с резцом.

Найдём из этого условия максимальное смещение центра тяжести. Пусть центр тяжести совпадает со стыком частей заготовки (тогда он максимально смещён от её центра) и находится на расстоянии \(x\) от её левого конца. Тогда \[m_л\,\frac{x}{2} = m_п\,\frac{h - x}{2} ,\] где \(m_л\) и \(m_п\) — массы левой и правой частей соответственно. Используя то, что массы частей пропорциональны их объёмам, получаем \[\rho\pi R^2 x\,\frac{x}{2} = \rho\pi\left(\frac{3R}{4}\right)^2 (h - x)\,\frac{h - x}{2} .\] Отсюда \[x = \frac{3h}{7} .\] Это значит, что максимальное смещение центра тяжести заготовки при обработке \[\Delta x = \frac{h}{2} - \frac{3h}{7} = \frac{h}{14} .\]