Массивная пружина

Пружина с предварительным сжатием: часть её витков не растягивается под собственным весом. Разбейте растянутую часть на равные участки с возрастающей силой натяжения.

Выданная пружина имела предварительное сжатие, поэтому часть её не растягивалась под собственным весом. Обозначим массу всей пружины \(m_0\), её нерастянутую длину \(L_0\), длину подвешенной части \(l\), массу и длину нерастянутой части \(M\) и \(L\), массу и длину растянутой части \(m\) и \((l-L)\): \[M = \frac{m_0}{L_0}\,L , \qquad m = \frac{m_0}{L_0}\,(l - L) .\] Разобьём растянутую часть на \(N\) одинаковых участков, пронумеровав их снизу. Жёсткость одного участка \(k_1 = k_{l-L}N\). Сила натяжения и удлинение \((i+1)\)-го участка: \[F_{i+1} = \frac{mg\,i}{N} , \qquad \Delta l_{i+1} = \frac{F_{i+1}}{k_1} = \frac{mg\,i}{k_{l-L}N^2} .\] Суммируя по участкам, \[\Delta l = \sum_{i=0}^{N-1}\frac{mg\,i}{k_{l-L}N^2} = \frac{mg}{k_{l-L}N^2}\cdot\frac{N(N-1)}{2} .\] При \(N\to\infty\) получаем \[\Delta l = \frac{mg}{2k_{l-L}} .\] Учитывая влияние нерастянутой части, получаем \[\Delta l = \frac{mg}{2k_{l-L}} + \frac{Mg - F_0}{k_L} ,\] где \(k_{l-L}\) — жёсткость пружины длиной \(l - L\), \(F_0\) — сила предварительного сжатия. Поскольку \(F_0 = Mg\), второе слагаемое обращается в нуль. Жёсткость пружины обратно пропорциональна длине: \(k_{l-L} = \dfrac{kL_0}{l-L}\), поэтому \[\Delta l = \frac{m_0 g\,(l-L)^2}{2kL_0^2} .\]

Измерения: длина нерастянутой части \(L = 1{,}2\) см измеряется напрямую. Удлинение \(\Delta l\) измеряется при разных \(l\); данные — в таблице и на графике \(\Delta l\) от \((l-L)^2\) (официальные таблицы и график здесь не перенесены).

Если \(\Delta l(l) = a\,(l-L)^2\), то \(a = \dfrac{m_0 g}{2kL_0^2}\); из графика \(a = 1{,}387 \pm 0{,}023\). Тогда \[k = \frac{m_0 g}{2aL_0^2} = 1{,}103 \pm 0{,}018~\text{Н/м} .\] Сила предварительного натяга \(F_0 = Mg = m_0 g\,\dfrac{L}{L_0}\approx 0{,}19 \pm 0{,}02\) Н.