Конденсаторы

До замыкания ключа ток в контуре из \(C\) и \(3C\) не течёт, поэтому заряды на конденсаторах определяются только ЭДС. Сразу после замыкания напряжения на конденсаторах не меняются.

1. Вначале в замкнутом контуре, состоящем из ёмкостей \(C\) и \(3C\), ток не протекал. На рис. 33 изображена эквивалентная схема этой цепи. Суммарный заряд, сосредоточенный на верхних обкладках конденсаторов \(C\) и \(3C\), равен нулю. Значит, \[\mathcal{E} = \dfrac{q}{C} + \dfrac{q}{3C} = \dfrac{4q}{3C}.\]

После алгебраических преобразований найдём искомое напряжение: \[U_C = \dfrac{q}{C} = \dfrac34\,\mathcal{E}.\]

2. Сразу после замыкания ключа \(K\) заряд и напряжение на конденсаторе \(2C\) равны нулю. Согласно второму закону Кирхгофа для контура №1 (рис. 34) запишем: \[\mathcal{E} = -I_1R + U_C + U_{3C} + I_3R.\] Поскольку \(\mathcal{E} = U_C + U_{3C}\), уравнение примет вид: \(I_1R = I_3\cdot 3R\), или \(I_1 = 3I_3\).

Согласно второму закону Кирхгофа для контура №2 запишем: \[2\mathcal{E} = I_2\cdot 2R + U_{3C} + I_3\cdot 3R, \quad \text{или} \quad \dfrac{7\mathcal{E}}{4R} = 2I_2 + 3I_3.\] По первому закону Кирхгофа \(I_2 = I_1 + I_3 = 4I_3\). Тогда \[I_3 = \dfrac{7\mathcal{E}}{44R}.\]

3. После того, как переходные процессы завершатся, ток по контурам течь не будет. На рис. 35 изображена эквивалентная схема этой цепи. Суммарный заряд, сосредоточенный на верхних обкладках конденсаторов \(C\), \(2C\) и \(3C\), равен нулю: \(q_1 + q_2 = q_3\).

Для контура №1: \[\mathcal{E} = \dfrac{q_1}{C} + \dfrac{q_3}{3C}.\] Для контура №2: \[2\mathcal{E} = \dfrac{q_2}{2C} + \dfrac{q_3}{3C}.\] Решая полученную систему уравнений, найдём \[q_1 = \dfrac16\,C\mathcal{E}, \qquad U_1 = \dfrac{q_1}{C} = \dfrac16\,\mathcal{E}.\]