Ползущая пружина

Найдите разность ускорений грузов, к которым приложена пружина: она подчиняется уравнению гармонических колебаний относительно нового положения равновесия.

Рассмотрим груз (1), к которому прикреплена только пружина (рис. 29). На него действует только сила \(F_1\) со стороны пружины: \[ma_1 = F_1.\] Так как пружина лёгкая, \(\vec F_1 + \vec F_2 = 0\), или \(F_1 = F_2 = F\).

Груз (2) движется под действием силы \(F_2\) со стороны пружины и силы \(F_3\) со стороны нити: \[ma_2 = F_3 - F_2.\] На груз (3) действуют силы тяжести \(mg\) и реакции нити \(F_4\): \[ma_3 = mg - F_4.\]

Поскольку нить нерастяжима, то \(F_3 = F_4\); \(a_2 = a_3\). Выразим из уравнений разность ускорений: \[a_2 - a_1 = \dfrac{g}{2} - \dfrac{3F}{2m}.\] С учётом закона Гука получаем: \[\ddot x = a_2 - a_1 = \dfrac{g}{2} - \dfrac{3k}{2m}\,x,\] где \(x\) — удлинение пружины. Введём обозначения: \(\omega^2 = \dfrac{3k}{2m}\); \(A_0 = \dfrac{mg}{3k}\); \(y = x - A_0\); и перепишем уравнение: \[\ddot y + \omega^2 y = 0.\] Мы получили уравнение колебаний, решение которого имеет вид \(y = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)\), или, возвращаясь к переменной \(x\): \(x = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) + A_0\).

Из условия, что система в начальный момент времени неподвижна (\(\dot x(0) = 0\)), следует, что \(B = 0\), а из условия, что пружина не растянута — \(A + A_0 = 0\). Отсюда получаем \[x = A_0\bigl(1 - \cos(\omega t)\bigr).\] Максимальное удлинение \(\Delta l = 2A_0 = \dfrac{2mg}{3k}\) достигается впервые через время \[\tau = \dfrac{\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\dfrac{2m}{3k}}.\]