Задачи › Переходные процессы в RL- и RLC-цепях, диод и катушка

Много катушек

  1. Много катушек

    ВсОШ 2013/14, 11 кл.
    6/10

    Шесть идеальных катушек индуктивности соединили в электрическую цепь так, что катушки образовали рёбра тетраэдра (рис. 6). К вершинам \(A\) и \(B\) подсоединили последовательно соединённые резистор сопротивлением \(R = 100\) Ом, батарейку с ЭДС \(\mathcal{E} = 4{,}6\) В, миллиамперметр и ключ. Индуктивность катушки \(L = 1\) мГн. Взаимной индуктивностью катушек пренебречь.

    Рисунок

    1. Вычислите силу тока \(I_{60}\), протекающего через миллиамперметр спустя 1 минуту после замыкания ключа.

    2. Вычислите силу тока, протекающего через каждую из катушек в тот момент, когда сила тока, протекающего через миллиамперметр, равна \(I_A = 23\) мА.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Подумайте, какой ток установится в цепи спустя долгое время, и сравните с характерным временем \(L/R\). Для второго пункта используйте симметрию (или законы Кирхгофа для токов и ЭДС самоиндукции).

    Ответ

    1) \(I_{60} = 46\) мА;  2) \(I_1 = 18\) мА, \(I_2 = I_4 = 3\) мА, \(I_3 = I_6 = 2\) мА, \(I_5 = 0\).

    Решение

    1. Система катушек в тетраэдре имеет индуктивность порядка \(L\). Характерное время установления токов в системе равно \(L/R = 10^{-5}\) с. Таким образом, за минуту в цепи переходные процессы прекратятся и искомая сила тока \(I_{60} = \mathcal{E}/R = 46\) мА.

    2. Перерисуем схему в виде, более удобном для анализа (рис. 37).

    Рисунок

    Для любой катушки индуктивности ЭДС самоиндукции \(\mathcal{E}_i = -L\dfrac{dI}{dt}\). Рассмотрим контуры, которые не содержат батареек. Для примера рассмотрим контур из катушек \(2L\), \(5L\), \(3L\). Запишем второй закон Кирхгофа: \[-2L\dfrac{dI_2}{dt} + 5L\dfrac{dI_5}{dt} + 3L\dfrac{dI_3}{dt} = 0,\] \[-2L\,\Delta I_2 + 5L\,\Delta I_5 + 3L\,\Delta I_3 = 0.\]

    Первый способ. Учитывая, что все токи вначале равны нулю, получаем: \[-2I_2 + 5I_5 + 3I_3 = 0.\] Записывая аналогичные равенства для других контуров, получаем ещё два уравнения: \[-I_1 + 4I_4 + 2I_2 = 0, \qquad -4I_4 - 5I_5 + 6I_6 = 0.\] Для узлов, к которым присоединена катушка \(5L\), применим первый закон Кирхгофа: \[I_2 + I_5 = I_4, \qquad I_3 = I_5 + I_6.\] Решая систему уравнений с учётом того, что суммарный ток через миллиамперметр равен \(I_A = I_1 + I_2 + I_3 = 23\) мА, получим: \[I_5 = 0~\text{мА}, \quad I_2 = I_4 = 3~\text{мА}, \quad I_3 = I_6 = 2~\text{мА}, \quad I_1 = 18~\text{мА}.\]

    Второй способ. По аналогии с предыдущим можно провести формальную замену катушек индуктивности резисторами, причём аналогами сопротивлений будут являться индуктивности катушек \(L\). Заметим, что катушки индуктивности \(2L\), \(4L\), \(3L\), \(6L\), \(5L\) образуют сбалансированный мост, так как верно соотношение: \[\dfrac{2L}{4L} = \dfrac{3L}{6L}.\] Мост сбалансирован, поэтому ток через катушку \(5L\) не течёт. Индуктивности параллельных ветвей сверху вниз относятся как \(1 : 6 : 9\), следовательно, силы тока будут относиться как \(9 : 1{,}5 : 1\) соответственно. Ток через миллиамперметр равен \(23\) мА. Поэтому получаем ответ, приведённый выше.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх