Расширение воды при нагреве от 10 до 100 °C

Разбейте нагрев на интервалы из таблицы. На каждом интервале объём умножается на \((1 + \beta\,\Delta T)\). Можно ли перемножить эти множители и отбросить малые произведения?

Пусть объём воды при температуре \(10\,^\circ\text{C}\) равен \(V_1\). Тогда объём \(V_2\) при температуре \(20\,^\circ\text{C}\) равен \[V_2 = V_1\left(1 + \beta_1\Delta T_1\right),\] где \(\beta_1\) — коэффициент объёмного расширения воды в интервале \(10\)–\(20\,^\circ\text{C}\), \(\Delta T_1 = 10\,^\circ\text{C}\). Аналогично для следующих интервалов: \[V_3 = V_2\left(1 + \beta_2\Delta T_2\right), \quad V_4 = V_3\left(1 + \beta_3\Delta T_3\right), \quad V_5 = V_4\left(1 + \beta_4\Delta T_4\right),\] где \(\Delta T_2 = 20\,^\circ\text{C}\) (интервал \(20\)–\(40\,^\circ\text{C}\)), \(\Delta T_3 = 20\,^\circ\text{C}\) (\(40\)–\(60\,^\circ\text{C}\)), \(\Delta T_4 = 40\,^\circ\text{C}\) (\(60\)–\(100\,^\circ\text{C}\)). Раскрывая скобки и учитывая, что все \(\beta\Delta T\) малы, их произведениями пренебрегаем: \[\frac{V_5}{V_1} \approx 1 + \beta_1\Delta T_1 + \beta_2\Delta T_2 + \beta_3\Delta T_3 + \beta_4\Delta T_4 .\] Подставляя данные таблицы, получаем \(\dfrac{V_5}{V_1} \approx 1{,}0405\). Без приближения, по формуле с перемножением, получается \(1{,}0409\). Итак, объём воды возрастёт примерно в \(1{,}04\) раза.