Два автомобиля на одном маршруте

Пусть скорость первого автомобиля на второй и третьей трети равна \(v\), а общее время пути \(t\). Выразите \(L\) через \(v\) и \(t\) для каждого автомобиля и сравните их скорости. Затем определите, на каком участке пути расстояние между машинами наибольшее.

\(L/4\).

1) Пусть \(v\) — скорость первого автомобиля на последней трети времени, \(t\) — время пути. Тогда \(L=2v\cdot\dfrac{t}{3}+v\cdot\dfrac{2t}{3}=\dfrac{4}{3}vt\). Для второго автомобиля пусть \(u\) — его скорость на первых двух третях времени, тогда на последней трети она равна \(2u\), и \(L=u\cdot\dfrac{2t}{3}+2u\cdot\dfrac{t}{3}=\dfrac{4}{3}ut\). Очевидно, что \(u=v\).

2) В первую треть времени первый автомобиль удаляется от второго с относительной скоростью \(v\), во вторую треть автомобили движутся с одинаковой скоростью и расстояние между ними не меняется, на последней трети второй автомобиль приближается к первому с относительной скоростью \(v\). Значит, наибольшее расстояние равно \(x=\dfrac{vt}{3}\), и оно сохраняется во вторую треть пути.

3) Из \(L=\dfrac{4}{3}vt\) получаем \(vt=\dfrac{3L}{4}\), откуда \(x=\dfrac{L}{4}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.