Рычаг, блоки и груз в воде

Запишите условие равновесия рычага относительно точки опоры и выразите натяжение нити через силу Архимеда. Потребуйте, чтобы равновесие не зависело от глубины погружения, то есть от силы Архимеда.

Вопрос. В воздухе натяжение нити \(T = mg\). В воде \(T' = mg - \rho_{\text{в}}Vg = mg\left(1 - \dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho}\right) = \dfrac45 mg\), поэтому \(\dfrac{T}{T'} = 1{,}25\): сила натяжения нити уменьшится в \(1{,}25\) раза.

Задача. Рычаг уравновешен, если моменты сил, действующих на него со стороны груза на конце (сила \(N_1\)) и сосуда с водой (сила \(N_2\)), равны: \(N_1\dfrac{L}{2} = N_2 x\), где \(x\) — расстояние от точки опоры до центра дна сосуда. Здесь \(N_1 = mg - T\), \(N_2 = Mg + F_A\), где \(F_A\) — сила Архимеда, с которой вода действует на погружённый груз (и с той же силой груз действует на сосуд). Второй груз находится в равновесии: \(2T = mg - F_A\). Объединяя уравнения, получаем \[\left(\frac12 mg + \frac12 F_A\right)\frac{L}{2} = (Mg + F_A)\,x.\] Равновесие не должно нарушаться при изменении глубины погружения, то есть при изменении \(F_A\). Значит, коэффициенты при \(F_A\) и слагаемые без \(F_A\) по отдельности равны: \(\dfrac{mgL}{4} = Mgx\) и \(\dfrac{F_A L}{4} = F_A x\). Отсюда \(x = \dfrac{L}{4}\) и \(m = M\).