Переправа через реку и вертолёты

Скорость пловца относительно берега — сумма скорости относительно воды и течения; при заданном курсе его поперечная составляющая должна компенсировать снос. Для вертолётов сравните времена полёта по дуге и по диаметру при попутном и встречном ветре.

Вопрос. Пусть пловец плывёт относительно воды со скоростью \(v\), течение \(u\). Чтобы держаться заданного курса под углом \(\alpha\) к берегу, он направляет скорость под углом упреждения \(\beta\): \(v\sin\beta = u\sin\alpha\). Курсовая скорость относительно берега равна \(v' = \sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha} \pm u\cos\alpha\) (знак «\(+\)» — попутное течение, «\(-\)» — встречное). Время переправы туда и обратно при длине пути \(D/\sin\alpha\) в каждую сторону: \[t = \frac{D}{\sin\alpha}\left(\frac{1}{\sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha} + u\cos\alpha} + \frac{1}{\sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha} - u\cos\alpha}\right) = \frac{2D\sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha}}{\sin\alpha\,(v^2 - u^2)} \approx 56{,}6~\text{с}.\]

Задача. Скорость вертолёта относительно воздуха \(v\), ветер \(u = v/8\). Скорость движения по полуокружности меняется, так как меняется угол между курсом и ветром. Для малого участка дуги с углом \(\Delta\alpha\) время полёта равно \(\Delta t_1 = \dfrac{R\,\Delta\alpha}{\sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha} + u\cos\alpha}\) при попутном ветре и с минусом при встречном. Разность времён полёта второго и первого вертолётов по полуокружностям: \[t_2 - t_1 = \sum\left[\frac{R\,\Delta\alpha}{\sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha} - u\cos\alpha} - \frac{R\,\Delta\alpha}{\sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha} + u\cos\alpha}\right] = \frac{2u}{v^2 - u^2}\sum R\,\Delta\alpha\cos\alpha = \frac{4uR}{v^2 - u^2},\] так как сумма проекций участков дуги на диаметр равна \(|AB| = 2R\). По диаметру первый вертолёт летит против ветра, и разность времён полёта по прямой тоже равна \(\dfrac{2R}{v-u} - \dfrac{2R}{v+u} = \dfrac{4uR}{v^2-u^2}\). Значит, полные времена полёта обоих вертолётов одинаковы, и в точке встречи они находятся одновременно: \[\frac{R - r}{v - u} = \frac{R + r}{v + u} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{u}{v}R = \frac{R}{8} = 2~\text{км}.\]