Мокрый снег в калориметре

Вспомните, при какой температуре лёд и вода находятся в равновесии при нормальном давлении. Далее запишите тепловой баланс для одной порции и заметьте, что оставшийся незаполненным объём уменьшается от порции к порции.

Вопрос. Одна из реперных точек шкалы Цельсия — температура, при которой лёд и вода находятся в равновесии при нормальном атмосферном давлении, то есть \(0^\circ\)С. Температура мокрого снега при таком давлении и есть \(0^\circ\)С.

Задача. Пусть \(V\) — объём калориметра, а объём воды в нём после \(n\)-й порции и установления равновесия равен \(x_n V\). Объём досыпаемого снега \(\Delta V_n = (1 - x_n)V\), его масса \(\Delta m_n = (1 - x_n)\,[0{,}8\cdot 0{,}9 + 0{,}2]\,\rho V = 0{,}92(1 - x_n)\rho V\). Поэтому \(x_{n+1} = x_n + 0{,}92(1 - x_n)\), то есть \(1 - x_{n+1} = 0{,}08(1 - x_n)\), и \(x_n = 1 - 0{,}5\cdot(0{,}08)^n\).

Тепловой баланс после \(n\)-й порции: лёд тает, а вода из снега нагревается до конечной температуры \(t_{n+1}\) за счёт остывания имевшейся в калориметре воды. В безразмерных величинах \(y_n = \dfrac{c\,t_n}{\lambda}\) получаем \[y_{n+1} = \frac{x_n y_n - 0{,}72\,(1 - x_n)}{0{,}92 + 0{,}08\,x_n}.\] По условию \(x_0 = 0{,}5\) и \(y_0 = \dfrac{c\cdot 59}{\lambda} = \dfrac{4{,}2\cdot 59}{340} \approx 0{,}7288\).

Первая порция: \(x_1 = 0{,}96\), \(y_1 \approx 0{,}0046 > 0\) — снег растаял полностью. Вторая порция: \(x_2 = 0{,}9968\), \(y_2 < 0\), то есть запаса теплоты остывающей воды не хватает, чтобы растопить весь лёд и нагреть воду из снега до положительной температуры. Значит, вторая порция — последняя. В итоге засыпано две порции, калориметр заполнен водой на \(99{,}68\%\) своего объёма.