Расстояние между двумя телами

Как меняется расстояние между телами, если рассматривать их движение относительно друг друга? В какой момент оно может быть наибольшим?

Докажем, что максимальное расстояние между телами будет в момент броска второго тела. Уравнения движения тел после броска второго тела имеют вид \[\vec r_1(t) = \vec r_1 + \vec v_1 t + \frac{\vec g t^2}{2}, \qquad \vec r_2(t) = \vec v_2 t + \frac{\vec g t^2}{2},\] где \(\vec r_1(t)\) и \(\vec r_2(t)\) — радиусы-векторы первого и второго тел относительно системы координат с началом на поверхности земли, \(\vec r_1\) — радиус-вектор первого тела в момент броска второго тела, \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) — скорости тел в этот момент, время \(t\) отсчитывается от момента броска второго тела. Вычитая эти формулы, получим \[\vec r_1(t) - \vec r_2(t) = \vec r_1 + (\vec v_1 - \vec v_2)\,t.\] Если вектор \(\vec v_1 - \vec v_2\) направлен вертикально вверх (так же как \(\vec r_1\)), то длина вектора \(\vec r_1(t) - \vec r_2(t)\) всё время растёт. Если векторы \(\vec r_1\) и \(\vec v_1 - \vec v_2\) направлены противоположно, то расстояние между телами будет уменьшаться, в какой-то момент станет равным нулю, а потом снова будет расти. Поскольку тела падают на землю одновременно, реализуется второй случай. Поэтому расстояние между телами до момента их встречи (на поверхности) всегда уменьшается, и максимально оно в момент броска второго тела. Найдём это расстояние.

В момент падения скорость первого тела равна \(-v_0\), а второго \(-2v_0/3\), поэтому времена движения первого и второго тел \(t_1\) и \(t_2\) находятся из уравнений \[-v_0 = v_0 - g t_1, \qquad -\frac{2}{3}v_0 = \frac{2}{3}v_0 - g t_2.\] Откуда \[t_1 = \frac{2v_0}{g}, \qquad t_2 = \frac{4v_0}{3g}, \qquad \Delta t = t_1 - t_2 = \frac{2v_0}{3g}\] — время задержки броска второго тела. Подставляя его в уравнение движения первого тела \(x_1(t) = v_0 t - \dfrac{g t^2}{2}\) (координата отсчитывается от поверхности земли, время — от момента броска первого тела), найдём расстояние между телами в момент броска второго тела, которое и будет максимальным: \[S_{\max} = x_1(\Delta t) = \frac{4v_0^2}{9g}.\]