Двенадцать вольтметров

Найдите вольтметры, между концами которых напряжение равно нулю при симметричном подключении. Затем выделите в оставшейся цепи участки, соединённые последовательно и параллельно.

Пусть к цепи приложено напряжение \(U\). Тогда электрическое напряжение между точками Б, Д и З (см. рисунок в условии) равно нулю. Следовательно, показания вольтметров \(V_4\) и \(V_9\) нулевые, \(U_4 = U_9 = 0\), и эти вольтметры можно удалить из цепи без изменения токов в каких-либо её участках. Поэтому цепь эквивалентна цепи, показанной на рисунке, из которого видно, что напряжение делится пополам на правую и левую половины цепи, и, следовательно, \(U_1 = U_2 = \dfrac{1}{2}U\).

Далее, напряжение на участке А–З,Д равно \(U/2\), сопротивление участка Г–З,Д составляет \(r_{\text{Г–З,Д}} = \dfrac{2r}{3}\), где \(r\) — сопротивление вольтметра. Это напряжение делится между участками А–Г и Г–З,Д в пропорции \(1:(2/3)\). Поэтому напряжение на вольтметре \(V_3\) (участок А–Г) равно \(3/5\) от \(U/2\), а на вольтметрах \(V_6\), \(V_8\) и \(V_{11}\) составляет \(2/5\) от \(U/2\). Поэтому \[U_3 = \frac{3}{10}U, \qquad U_6 = \frac{2}{10}U, \qquad U_8 = U_{11} = \frac{1}{10}U.\] Аналогично \[U_5 = \frac{3}{10}U, \qquad U_7 = \frac{2}{10}U, \qquad U_{10} = U_{12} = \frac{1}{10}U.\] Условие равенства суммы показаний всех вольтметров величине \(U_0\) даёт \[U_1 + U_2 + \dots + U_{12} = U_0 \quad\Rightarrow\quad \frac{24}{10}\,U = U_0,\] откуда \(U = \dfrac{10}{24}U_0\). Тогда \[U_1 = U_2 = \frac{5}{24}U_0 = 5\text{ В}, \qquad U_3 = U_5 = \frac{3}{24}U_0 = 3\text{ В}, \qquad U_4 = U_9 = 0,\] \[U_6 = U_7 = \frac{2}{24}U_0 = 2\text{ В}, \qquad U_8 = U_{10} = U_{11} = U_{12} = \frac{1}{24}U_0 = 1\text{ В}.\]