Нить через блок и стержень

Рассмотрите участок стержня длиной \(l\) у нижнего конца. Чему равно ускорение стержня и куда оно направлено при разных соотношениях масс \(m\) и \(M\)?

Рассмотрим отдельно два случая: \(m > M\) и \(m < M\).

Первый случай — \(m > M\). В этом случае ускорение стержня направлено вверх и равно по величине \[a = \frac{m - M}{m + M}\,g.\] Рассмотрим движение участка стержня длиной \(l\). Он имеет то же ускорение, что и сам стержень, и на него действуют сила тяжести \(M_1\vec g\) (\(M_1\) — масса рассматриваемого участка) и искомая сила натяжения \(\vec T\) в сечении, отделяющем этот участок от самого стержня (см. рисунок). Второй закон Ньютона для рассматриваемого участка в проекции на ось, направленную вверх, даёт \[M_1 a = T - M_1 g \quad\Rightarrow\quad T = M_1\,(a + g) = \frac{2mM_1}{m + M}\,g.\] Длина участка составляет \(1/3\) длины стержня, значит, его масса составляет \(1/3\) массы стержня: \(M_1 = M/3\). Окончательно \[T = \frac{2mM}{3(m + M)}\,g.\]

Второй случай — \(m < M\). Ускорение участка стержня равно по величине \[a = \frac{M - m}{m + M}\,g\] и направлено вертикально вниз. Второй закон Ньютона для него: \[M_1 a = M_1 g - T \quad\Rightarrow\quad T = M_1\,(g - a) = \frac{2mM_1}{m + M}\,g = \frac{2mM}{3(m + M)}\,g.\] Из сравнения двух случаев видно, что сила натяжения стержня в рассматриваемом сечении не зависит от того, какая из масс больше, \(m\) или \(M\).