Шар и клин у стенки

Кинематическая связь: скорость шара и скорость клина связаны через \(\tan\alpha\). Потерь энергии нет, поэтому используйте закон сохранения энергии системы.

1) Из условия равновесия: \(N\cos\alpha = mg\), \(P = N = \dfrac{mg}{\cos\alpha}\), \(F = P\sin\alpha = mg\tan\alpha \approx 5{,}8\) Н.

2) Кинематическая связь: \(V_{\text{шара}} = V_{\text{клина}}\tan\alpha\). Введём \(V\) — скорость шара. Потерь энергии нет, приращение кинетической энергии равно убыли потенциальной: \[\frac{mV^2}{2}\left(1 + \frac{1}{\tan^2\alpha}\right) = mgH .\] Перемещение \(h\) шара после соударения до первой остановки найдём по закону сохранения энергии: \[h = \frac{H}{1 + \dfrac{1}{\tan^2\alpha}} = H\sin^2\alpha = 0{,}2~\text{м}.\]

3) Из закона сохранения энергии \(V^2 = 2\,g\sin^2\alpha\,H\) находим ускорение шара \(a_{Ш} = g\sin^2\alpha\), тогда ускорение клина \[a = \frac{a_{Ш}}{\tan\alpha} = g\sin\alpha\cos\alpha \approx 4{,}33~\text{м/с}^2 .\] Этот же результат получается из второго закона Ньютона: для клина \(m a_{КЛ} = \tilde N\sin\alpha\), для шара \(m a_{Ш} = mg - \tilde N\cos\alpha\), кинематическая связь \(a_{Ш} = a_{КЛ}\tan\alpha\).

4) \(a = g\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{g}{2}\sin 2\alpha\) максимально при \(\alpha = 45^\circ\).

5) \(a_{MAX} = \dfrac{g}{2} = 5\) м/с\(^2\).