Куб, наполняемый водой: самый низкий центр масс

Центр масс системы опускается, пока вода поступает ниже него; самое низкое положение — когда уровень воды совпадает с высотой центра масс системы. Далее примените правило моментов.

1) Пусть \(m\) — масса набранной в куб воды, \(h\) — высота водяного столба в кубе, \(l\) — высота центра масс системы в произвольный момент времени. Собственный центр масс куба находится на высоте \(\dfrac{a}{2}\), центр масс воды — на высоте \(\dfrac{h}{2}\). Пока вода добавляется ниже центра масс системы, эта высота уменьшается.

2) Высота центра масс системы не может быть уменьшена добавлением воды, если она совпадает с высотой водяного столба, то есть при \(l = h\). Применяя правило моментов, получаем: \[M\left(\frac{a}{2} - l\right) = m\left(l - \frac{h}{2}\right).\] Используя \(l = h\) и \(m = \rho a^2 h\), получаем квадратное уравнение относительно \(h\): \[\rho a^2 h^2 + 2Mh - Ma = 0.\] Отбрасывая отрицательный корень: \[h = \frac{M\left(\sqrt{1 + \dfrac{\rho a^3}{M}} - 1\right)}{\rho a^2}.\]

3) Искомый момент времени: \[t = \frac{m}{u} = \frac{\rho a^2 h}{u} = \frac{M}{u}\left(\sqrt{1 + \frac{\rho a^3}{M}} - 1\right) = 75\text{ с}.\]