Брусок на доске
6/10Брусок в форме прямоугольного параллелепипеда, сторонами \(a = 10\,\text{см}\), \(b = 20\,\text{см}\) и \(c = 10\,\text{см}\) расположен на тонкой доске вблизи края горизонтальной поверхности стола (см. рис., сторона \(c\) не видна). Правый конец доски закреплён в шарнире \(D\) и может свободно вращаться вокруг его оси. Доску медленно приподнимают за левый конец, прилагая минимальное усилие. Каким будет это усилие в момент начала движения бруска относительно доски? Масса доски \(m = 1\,\text{кг}\). Коэффициент трения бруска о доску \(\mu = 0{,}6\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаСравните угол, при котором брусок начнёт скользить, с углом, при котором он начнёт опрокидываться. Что наступит раньше?
Ответ\(F = \dfrac{m g b}{2\sqrt{a^2+b^2}} \approx 4{,}5\ \text{Н}\).
РешениеДвижение бруска по доске может начаться по двум причинам: брусок начнёт скользить или опрокидываться. Скольжение начнётся при угле \(\alpha_1 = \operatorname{arctg}\mu = \operatorname{arctg}0{,}6\). Опрокидывание начнётся, когда линия действия силы тяжести бруска пересечёт ось шарнира, т.е. при \(\operatorname{tg}\alpha_2 = a/b = 0{,}5\). Поскольку \(\alpha_2 < \alpha_1\), брусок опрокинется раньше, чем начнёт скользить.
Правило моментов для границы опрокидывания относительно оси шарнира: \(F\,l - m g\,\dfrac{l}{2}\cos\alpha_2 = 0\). С учётом \(\cos\alpha_2 = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) получаем \[F = \frac{m g b}{2\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{1\cdot 10\cdot 20}{2\sqrt{100 + 400}} \approx 4{,}5\ \text{Н}.\]
Похожие задачи
- Все ниже, и ниже, и ниже… СПбГУ 2011/12, 9 кл.
- Время движения, вес и кинетическая энергия тележки Интернет-олимпиада 2012/13, 10 кл.
- Шайба вверх и вниз по наклонной плоскости Курчатов 2013/14, 11 кл.
- Брусок на шероховатой наклонной плоскости МОШ 2013/14, 7-11 кл.
- Тяни-толкай СПбГУ 2013/14, 10 кл.
- Наклонный рельс с лебёдкой Интернет-олимпиада 2014/15, 11 кл.