Муха-цокотуха

Относительно Ильи муха летает туда и обратно на одинаковое расстояние. Посчитайте скорость мухи по ветру и против ветра относительно земли и заметьте, что в первом рейсе Илья проедет половину пути.

Дано: \(L = 50\,\text{км}\), \(v_0 = 10\,\text{км/ч}\) (скорость Ильи), \(u = 5\,\text{км/ч}\) (ветер), \(v = 15\,\text{км/ч}\) (муха).

Скорость мухи по ветру \(v_{\to} = v + u = 20\,\text{км/ч}\) — вдвое больше скорости Ильи. Против ветра \(v_{\leftarrow} = v - u = 10\,\text{км/ч}\) — равна скорости Ильи. Поэтому за первый рейс мухи из Алёшино в Добрынино Илья проедет лишь половину пути \(L\). Далее они движутся навстречу друг другу и встречаются через четверть расстояния \(L\) от Добрынино. Путь мухи за первый цикл \(S_1 = \dfrac{5}{4}L\), и каждый следующий цикл повторяет процесс со стартовым расстоянием в \(\tfrac{1}{4}\) предыдущего. Путь мухи — сумма убывающей геометрической прогрессии со знаменателем \(\tfrac{1}{4}\): \[S = S_1\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \dots\right) = \frac{5}{4}L\cdot\frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{5}{3}L = 83{,}3\ \text{км} \approx 80\ \text{км}.\] Тот же результат даёт расчёт средней скорости мухи: \(v_{\text{ср}} = \dfrac{v^2 - u^2 + uv_0}{v}\) при полном времени полёта \(T = L/v_0\).