Задачи › Стоячие волны, струны и трубы

Звук в пробирке

  1. Звук в пробирке

    Санкт-Петербургская 2018/19, 11 кл.
    6/10

    Известно, что зависимость амплитуды колебаний в системе от частоты внешнего периодического воздействия при не слишком больших отклонениях частоты относительно резонанса \(\nu_р\) может быть аппроксимирована функцией \[A(\nu)=\frac{A_р}{\sqrt{1+\frac{4\pi^2}{\beta^2}(\nu-\nu_р)^2}},\] где \(A_р\) — резонансная амплитуда, \(\nu_р\) — частота резонанса, \(\beta\) — коэффициент затухания. Снятие амплитудно-частотной характеристики производится с помощью программы-спектроанализатора на планшете (приложение Physics Toolbox Suite, режим «Анализатор спектра»). Шкала ординат проградуирована в дБ: \(D=20\lg(P/P_0)\), где \(P_0=20\) мкПа.

    Задание.

    1. Проведите измерения зависимости амплитуды и частоты наибольшей моды звукового сигнала, генерируемого излучателем, помещённым в пробирку, от его высоты над дном пробирки.

    2. Выведите теоретическое уравнение, связывающее частоту звука, наиболее эффективно возбуждаемого в пробирке (частоту резонанса), с высотой излучателя над дном пробирки.

    3. Постройте амплитудно-частотную характеристику \(A(\nu)\) наибольших по амплитуде возбуждаемых мод в системе.

    4. Определите скорость звука \(c\) в воздухе.

    5. Определите коэффициент затухания \(\beta\) в резонансной системе.

    Оборудование: мерный цилиндр 20 мл с подставкой, источник звука, провода, батарейка ААА, держатель для батареек ААА, спектроанализатор (планшет), миллиметровка, линейка, ножницы, скотч по требованию.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Резонанс в трубе с одним закрытым концом: на длине \(h\) укладывается целое число полуволн с поправкой \(a\) на конец. Сравните частоты соседних максимумов при изменении высоты \(h\).

    Ответ

    Скорость звука \(c=\nu_р\,\Delta h_р\) (по критериям — \(c\approx340\) м/с); коэффициент затухания \(\beta\) определяется по наклону линеаризованной зависимости \((A_р/A(\nu_р))^2\) от \((\nu-\nu_р)^2\): \(\beta=\dfrac{2\pi}{\sqrt{k}}\).

    Решение

    Длина волны \(\lambda=c/\nu\). На длине резонатора при резонансе укладывается целое число полуволн: \[h_р=n\frac{\lambda_р}{2}+a,\] где \(n\) — номер моды, \(a=\lambda/4\), если резонатор закрыт с одной стороны, и \(a=0\), если оба конца закрыты (для частично закрытого конца \(0<a<\lambda/4\)). Тогда \[h_р=\frac{nc}{2\nu_р}+a.\] Для соседних максимумов \(\Delta h_р=\dfrac{c}{2\nu_р}\), откуда \(c=\nu_р\,\Delta h_р\).

    Для коэффициента затухания преобразуем формулу для амплитуды вблизи резонанса: \[\Bigl(\frac{A_р}{A(\nu_р)}\Bigr)^2=1+\frac{4\pi^2}{\beta^2}(\nu-\nu_р)^2.\] Строя зависимость \(\bigl(A_р/A(\nu_р)\bigr)^2\) от \((\nu-\nu_р)^2\) и находя угловой коэффициент \(k\) аппроксимирующей прямой, получаем \(\beta=\dfrac{2\pi}{\sqrt{k}}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх