Лестница из линеек

A1. Снимем зависимость \(l(n)\). Контрольные данные приведены в таблице.

A2. Рассчитаем, как надо смещать линейки друг относительно друга, чтобы получить максимально возможный сдвиг \(d_{\max }\) верхней линейки относительно нижней, лежащей на столе линейки. Этот сдвиг, равный сумме ширин всех ступенек лестницы, рассчитывается, очевидно, из условия, что центр масс стопки, лежащей над какой то линейкой, приходится точно на её опорный край. Будем отсчитывать номера линеек сверху. Тогда очевидно, что самую верхнюю, первую сверху линейку можно сместить относительно второй максимум на половину её длины, т.е. на \(\Delta_{1}=l_{0} / 2\). Это означает, что, если мы строим лестницу, например, всего лишь из двух линеек, то её максимальная длина будет равна \(l_Т(2)=3 l_{0} / 2\).

Максимальный сдвиг второй линейки \(\Delta_{2}\) относительно третьей находим из условия, что центр масс системы из двух верхних линеек должен приходиться точно на опорный край третьей. Поскольку момент силы тяжести стопки из двух верхних линеек относительно центра масс равен нулю, то: \[m g\left(l_{0} / 2-\Delta_{2}\right)=m g \Delta_{2}\] где \(m\) – масса линейки.

В общем случае, сдвиг \(\Delta_{k}\) \(k\)-ой (см. рис.) сверху линейки относительно \(k+1\) определяется уравнением:\[mg\left(\dfrac{l_0}{2}-\Delta_k\right)=(k-1)mg\Delta_k.\] откуда ширина \(k\)-ой ступеньки равна: \[\Delta_{k}=\frac{l_{0}}{2 k}\] Полная длина лестницы складывается из длины линейки \(l_{0}\) и сумме ширин всех её ступенек: \[l=l_{0}+\Delta_{1}+\Delta_{2}+\Delta_{3}+\ldots\] Если, например, мы строим лестницу из \(\mathrm{n}\) линеек, то в результате получим лестницу общей длиной: \[l=l_{0}+\frac{l_{0}}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots\right)\] Таким образом, теоретическая зависимость максимальной длины лестницы от числа линеек имеет вид:

Ответ:

\[l(n)=l_{0}+\frac{l_{0}}{2} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}\]

A3. В соответствии с формулой из предыдущего пункта получаются следующие значения максимальной длины лестницы в зависимости от числа линеек:

Приведем таблицу, в которой указано отличие теоретических значений от экспериментальных.

Ответ:

Как видно, максимальное расхождение теоретических и экспериментальных данных составляет \(1.5 \%\), что соответствует точности измеренных нами значений. Поэтому можно утверждать, что теоретические и экспериментальные значения сходятся в пределах погрешности.

A4. Первый способ

Рассмотрим искомую длину: \[L=l_{0}+\frac{l_{0}}{2} \sum_{1}^{159} \frac{1}{n}\] Оценка \({L}\) сводится к оценке суммы \(\sum_{1}^{160} 1 / n\). Обозначим нашу сумму за \(S\). Тогда: \[S=\sum_{1}^{9} \frac{1}{n}+\sum_{10}^{19} \frac{1}{n}+\sum_{20}^{159} \frac{1}{n} \\ L=l_{0}+\frac{1}{2} S l_{0}\] Первую сумму посчитаем на калькуляторе, получим: \[\sum_{1}^{9} \frac{1}{n} \approx 2.83\] \(1 / n\) в диапазоне \(10 \leq n \leq 20\) можно оценить как: \[\left(\frac{1}{n}\right)_{\text {сред }}=\frac{\left(\frac{1}{n}\right)_{\max }+\left(\frac{1}{n}\right)_{\min }}{2} \approx 0.08\] Тогда: \[\sum_{10}^{19} \frac{1}{n} \approx 0.08\cdot 10=0.8\] Рассмотрим: \[\sum_{20}^{39} \frac{1}{n}=\frac{1}{2}\left(\sum_{10}^{19} \frac{1}{n}+\sum_{10}^{19} \frac{1}{n+0.5}\right) \approx \frac{1}{2}\left(2 \sum_{10}^{19} \frac{1}{n}\right)=\sum_{10}^{19} \frac{1}{n}=0.8\] Аналогично: \[\sum_{40}^{79} \frac{1}{n} \approx \sum_{80}^{159} \frac{1}{n} \approx 0.8\] Таким образом получаем, что \(S \approx 2.83+4 \cdot 0.8=6.03\), тогда \(L=12+6 \cdot 6.03 \approx\) \(48.2~см\).

Второй способ

Также существует и более простой метод оценки \(L\). При больших n выполняется равенство: \[\sum_{n_{1}}^{n_{2}} \frac{1}{n} \approx \int_{n_{1}}^{n_{2}} \frac{\mathrm d n}{n}=\ln \left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right)\] Просуммировав первые десять членов, а сумму других заменив логарифмом, получим: \[L \approx l_{0}+2.83\cdot\frac{l_{0}}{2}+\ln (15.9) \cdot \frac{l_{0}}{2} \approx 3.8~~ l_{0}=45.6~см\] Теоретическое значение, полученное честным суммированием \(L=45.9~см\).

Ответ:

\[L=45.9~см\]

Источник: pho.rs/p/4017.