Пузырики

Решение

A1. Соберем установку и погрузим иглу в измерительный цилиндр на максимально возможную глубину.

A2. С помощью шприца \(20~мл\), будем заливать в левое колено манометра воду до тех пор, пока из исследуемой иглы не начнут выходить пузыри воздуха.

A3. Запишем показания манометра \(H\), начнем поднимать линейку с медицинской трубкой, тем самым уменьшая \(h\). Показания манометра будут постоянны до тех пор, пока из иглы не начнут выходить пузыри. Запишем высоту \(h\) в этот момент. После выхода из иглы пузырьков, \(H\) в манометре уменьшится автоматически для измерения следующей точки.

\({h}_1\) – координата уровня воды в цилиндре, считываемая с погружаемой линейки. \(H_{1}\) – высота столба жидкости в левом колене, \(H_{2}\) – в правом. \(h_0=12.8~см\) – координата края иглы по линейке. Тогда \(H=H_{1}\), \(H_2=\left|h_{1}- h_0\right|\).

Ответ:

Погрешность считывания показаний с линейки \(x=1~мм\) значит погрешность \(H\) и \(h\)равна \(2~мм\).

A4. График полученной зависимости:

Ответ:

Рисунок 1. График зависимости для фиолетовой иглы

Зависимость аппроксимируется прямой \(y=k_{1} x+b_{1}\), где:\[b_{1}=(7.99 \pm 0.05)~см, \quad k_{1}=0.996 \pm 0.005\]

A5. Снимаем аналогичную зависимость для зеленой иглы:

\[{h}_{0}=(14.40 \pm 0.05)~см\]

Ответ:

График зависимости:

Ответ:

Рисунок 2. Зависимость для зеленой иглы

Данная зависимость, так же аппроксимируется прямой \(y=k_{2} x+b_{2}\), где:\[k_{2}=0.992 \pm 0.004, \quad b_{2}=(5.86 \pm 0.04)~см\]

A6. Исходя из результатов двух экспериментов, видно, что угловые коэффициенты графиков совпадают и примерно равны \(1\) но различаются точки пересечения с осью ординат. Откуда можно сделать вывод, что зависимость имеет вид: \[H=h+b(r)\]где \(b\) – функция, зависящая от геометрических параметров иглы.

Тогда, для дополнительного давления следует записать: \[\rho g H=\rho g+P\]где \(P\) – поправка на давление связанная с геометрическими параметрами иглы, называемая поправкой Лапласа:\[P=\frac{2 \sigma}{r}.\]Используя поправку Лапласа прокомментируем метод измерения \(H(h)\):

Высота \(H\) постоянна (пузыри не выходят, значит объём воздуха в капилляре с хорошей точностью постоянный), \(\rho g H=\rho g+P= \operatorname{const}\), при уменьшении \(h\) должна увеличиваться поправка Лапласа (\(P={2 \sigma \cos (\theta)}/{r}\), где \(\sigma\) – поверхностное натяжение воды, постоянное в рамках нашей задачи, \(r\) – радиус иглы). Значит \(P \sim \cos (\theta) \cdot \cos (\theta)\) растет и достигает максимального значения \(\cos (\theta)=1\) в момент выхода пузырей из иглы.

Итоговая зависимость:

Ответ:

\[H=h+\frac{2 \sigma}{\rho g r}\]

A7. Давление Лапласа:

• для фиолетовой иглы \[P_{1}=\frac{2 \sigma}{\rho g r_{1}}=\rho g b_{1},\]

• для зеленой \[P_{2}=\frac{2 \sigma}{\rho g r_{2}}=\rho g b_{2}.\]

Отношение внутренних диаметров игл:\[\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{b_{2}}{b_{1}}=(1.36 \pm 0.01)\]

Ответ:

\[\frac{d_{1}}{d_{2}}=1.36 \pm 0.01\]

Источник: pho.rs/p/4016.