Задачи › Сила Архимеда

Параллелепипед в сосуде

  1. Параллелепипед в сосуде

    Росатом 2022/23, 10 кл.
    4/10

    Тело в виде прямоугольного параллелепипеда с размерами сторон \(a \times b \times c = 10\,\text{см} \times 5\,\text{см} \times 3\,\text{см}\) положили в цилиндрический сосуд с водой. Если тело положить на сторону с самой большой площадью, высота уровня воды в сосуде составляет \(h_1 = 4\text{ см}\). Если тело положить на сторону со средней площадью, высота уровня воды в сосуде составляет \(h_2 = 3\text{ см}\). Найти объём воды в сосуде. Какой будет высота уровня воды в сосуде, если тело положить на дно сосуда на сторону с самой маленькой площадью?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Запишите баланс объёмов воды и тела для каждого из трёх положений: сколько объёма тела находится под водой и какова площадь дна сосуда?

    Ответ

    \(V = \dfrac{a\,c\,h_2\,(b - h_1)}{h_1 - h_2} = 90\text{ см}^3\);  \(h_3 = \dfrac{a\,h_2\,(b - h_1)}{a\,(b - h_2) - b\,(h_1 - h_2)} = 2\text{ см}\).

    Решение

    В первом случае брусок весь находится под водой, во втором и в третьем — только часть бруска. Если объём воды в сосуде равен \(V\), а площадь дна сосуда \(S\), то баланс объёмов дает: \[S h_1 = V + abc, \qquad S h_2 = V + ac\,h_2, \qquad S h_3 = V + bc\,h_3 .\] Из первых двух уравнений находим объём воды и площадь дна сосуда: \[V = \frac{ac\,h_2\,(b - h_1)}{h_1 - h_2} = 90\text{ см}^3, \qquad S = \frac{ac\,(b - h_2)}{h_1 - h_2} = 60\text{ см}^2 .\] Подставив их в уравнение для третьего случая, получим \[h_3 = \frac{a\,h_2\,(b - h_1)}{a\,(b - h_2) - b\,(h_1 - h_2)} = 2\text{ см}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх