Тело на стенке конуса
3/10Небольшое тело движется по внутренней поверхности вертикального конуса, описывая горизонтальную окружность радиуса \(r\) с центром на оси конуса (см. рисунок). Найти угловую скорость тела, если угол между осью конуса и его образующей равен \(\alpha\). Поверхность конуса гладкая, влиянием силы сопротивления воздуха пренебречь.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаНа тело действуют две силы: сила тяжести и сила реакции опоры, перпендикулярная поверхности конуса. Их равнодействующая задаёт центростремительное ускорение.
Ответ\(\omega = \sqrt{\dfrac{g\,\ctg\alpha}{r}}\).
РешениеПоскольку поверхность конуса гладкая и тело движется на одной и той же высоте, его скорость не меняется. На тело действуют сила реакции опоры \(N\) и сила тяжести \(mg\); их сумма направлена к центру окружности и равна \(m\omega^2 r\). Проекции второго закона Ньютона на вертикальную ось и ось, направленную к центру окружности: \[0 = N\sin\alpha - mg, \qquad m\omega^2 r = N\cos\alpha .\] Отсюда \[\omega = \sqrt{\frac{g\,\ctg\alpha}{r}}.\]
Похожие задачи
- Невесомость на мостике МОШ 2012/13, 9 кл.
- Невесомость на мостике МОШ 2012/13, 10 кл.
- Автомобиль на выпуклом мосту Физтех 2015/16, 9 кл.
- Груз на вращающейся платформе Курчатов 2015/16, 11 кл.
- Конический маятник МОШ 2012/13, 10 кл.
- Монетка на виниловом диске Курчатов 2013/14, 10 кл.