Двенадцать вольтметров

Найдите вольтметры, между концами которых напряжение равно нулю: их можно убрать из цепи. Дальше цепь сводится к последовательному и параллельному соединению.

Обозначения точек — на рисунке.

Пусть к цепи приложено напряжение \(U\). Напряжение между точками Б, Д и З равно нулю, следовательно, показания вольтметров \(V_4\) и \(V_9\) нулевые: \(U_4 = U_9 = 0\). Эти вольтметры можно удалить из цепи без изменения токов в каких-либо её участках. Цепь эквивалентна показанной ниже, где напряжение делится пополам на правую и левую половины цепи:

Показания вольтметров \(V_1\) и \(V_2\): \(U_1 = U_2 = \dfrac{U}{2}\). Напряжение на участке А–З,Д равно \(U/2\), сопротивление участка Г–З,Д составляет \(r_{Г-З,Д} = \dfrac{2r}{3}\), где \(r\) — сопротивление вольтметра. Напряжение делится между участками А–Г и Г–З,Д в пропорции \(1 : \tfrac{2}{3}\). Поэтому на вольтметре \(V_3\) (участок А–Г) напряжение равно \(\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{U}{2}\), а на вольтметрах \(V_6\), \(V_8\) и \(V_{11}\) — \(\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{U}{2}\): \[U_3 = \frac{3}{10}U, \quad U_6 = \frac{2}{10}U, \quad U_8 = U_{11} = \frac{1}{10}U .\] Аналогично \[U_5 = \frac{3}{10}U, \quad U_7 = \frac{2}{10}U, \quad U_{10} = U_{12} = \frac{1}{10}U .\] Сумма показаний всех вольтметров равна \(U_0\): \[\frac{24}{10}\,U = U_0 \quad\Rightarrow\quad U = \frac{10}{24}\,U_0 .\] Отсюда показания вольтметров: \[U_1 = U_2 = \frac{5}{24}U_0 = 5\text{ В}, \qquad U_3 = U_5 = \frac{3}{24}U_0 = 3\text{ В}, \qquad U_4 = U_9 = 0,\] \[U_6 = U_7 = \frac{2}{24}U_0 = 2\text{ В}, \qquad U_8 = U_{10} = U_{11} = U_{12} = \frac{1}{24}U_0 = 1\text{ В}.\]