Труба с намотанной нитью

Условие равновесия моментов относительно центра трубы даёт связь натяжения нити и силы трения. Найдите силу реакции плоскости из уравнения сил.

На трубу действуют сила тяжести \(m\vec g\), сила реакции плоскости \(\vec N\), сила натяжения нити \(\vec T\) и сила трения \(\vec F_{тр}\), направленная вверх вдоль плоскости. Условие моментов относительно центра трубы даёт \(TR = F_{тр}R\), откуда \(T = F_{тр}\). Из условия моментов относительно точки касания трубы и плоскости \[T\,(R + R\sin\alpha) = mgR\sin\alpha \quad\Rightarrow\quad T = \frac{mg\sin\alpha}{1 + \sin\alpha},\] поэтому \[F_{тр} = \frac{mg\sin\alpha}{1 + \sin\alpha}.\] Условие покоя: \(F_{тр} \le \mu N\). Сила реакции из уравнения сил: \[N = mg\cos\alpha - T\cos\alpha = \frac{mg\cos\alpha}{1 + \sin\alpha}.\] Условие покоя трубы: \[\frac{mg\sin\alpha}{1 + \sin\alpha} \le \mu\,\frac{mg\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} \quad\Rightarrow\quad \mu \ge \tg\alpha .\]