Три тела разной теплоёмкости

Запишите уравнение теплового баланса для каждой пары тел и выразите первоначальные температуры через \(T_{12}\), \(T_{13}\), \(T_{23}\). Затем запишите баланс для всех трёх тел.

Пусть температуры тел равны \(t_1\), \(t_2\) и \(t_3\). Тогда для установившихся температур \[2T_{12} = t_1 + t_2, \qquad 3T_{13} = t_1 + 2t_3, \qquad 3T_{23} = t_2 + 2t_3 .\] Решая эту систему, получим \[t_1 = \frac{3}{2}\,(T_{13} - T_{23}) + T_{12}, \quad t_2 = \frac{3}{2}\,(T_{23} - T_{13}) + T_{12}, \quad t_3 = \frac{3}{4}\,(T_{13} + T_{23}) - \frac{1}{2}\,T_{12} .\] Поэтому установившаяся температура при контакте всех трёх тел \[T_x = \frac{1}{4}\,(t_1 + t_2) + \frac{1}{2}\,t_3 ,\] что дает \[T_x = \frac{1}{4}\,T_{12} + \frac{3}{8}\,(T_{13} + T_{23}) .\]