Лёд и шарики в воде

Сколько льда, взятого из холодильника, способна растопить вода в сосуде? Запишите это как предельную массу льда \(M_0\) и выразите через неё оба наблюдения.

Пусть \(C\) — общая теплоёмкость воды и сосуда, \(c_{\text{л}}\) — удельная теплоёмкость льда, \(\lambda\) — удельная теплота плавления льда, \(t_{\text{к}}\) — комнатная температура, \(t_{\text{х}}\) — температура в холодильнике. Исследуем, в каком случае льдинка массой \(m\), взятая из холодильника, при погружении в сосуд полностью растает. Количество теплоты, выделяющееся при охлаждении воды и сосуда до \(0\,^\circ\text{C}\), составляет \(C t_{\text{к}}\). Его должно хватить на нагревание льдинки до \(0\,^\circ\text{C}\) (требуемое количество теплоты \(c_{\text{л}} m |t_{\text{х}}|\)) и на её плавление (требуется количество теплоты \(\lambda m\)). Следовательно, льдинка растает полностью при \[C t_{\text{к}} > c_{\text{л}} m |t_{\text{х}}| + \lambda m,\] или при \[m < \frac{C t_{\text{к}}}{c_{\text{л}} |t_{\text{х}}| + \lambda}.\] По условию задачи \[3 m_{\text{к}} < \frac{C t_{\text{к}}}{c_{\text{л}} |t_{\text{х}}| + \lambda} < 4 m_{\text{к}}, \qquad m_{\text{к}} + m_{\text{ш}} < \frac{C t_{\text{к}}}{c_{\text{л}} |t_{\text{х}}| + \lambda} < m_{\text{к}} + 2 m_{\text{ш}}.\] Обозначая \[M = \frac{C t_{\text{к}}}{c_{\text{л}} |t_{\text{х}}| + \lambda} - m_{\text{к}},\] сводим данную задачу к задаче 3а (о взвешивании кубиков и шариков): \(2 m_{\text{к}} < M < 3 m_{\text{к}}\) и \(m_{\text{ш}} < M < 2 m_{\text{ш}}\). Отсюда \(m_{\text{ш}} < 3 m_{\text{к}}\) и \(m_{\text{ш}} > m_{\text{к}}\).