Колобок и высота горки
4/10Колобок закатывается на горку высотой \(H\), имея начальную скорость \(10\) м/с, после чего слетает с горки и приземляется на некотором расстоянии от неё. При какой высоте горки это расстояние будет максимальным?
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаСкорость колобка на вершине горки найдите из закона сохранения энергии, а дальность полёта выразите через время падения с высоты \(H\). Затем исследуйте функцию дальности на максимум.
Ответ\(H = \dfrac{v_0^2}{4g} = 2{,}5\) м.
РешениеИз закона сохранения энергии скорость колобка на вершине горки \(v^2 = v_0^2 - 2gH\). Горизонтальная скорость после слёта \(v\), время падения \(t = \sqrt{\dfrac{2H}{g}}\), дальность \(S = vt\). Тогда \[S^2 = (v_0^2 - 2gH)\,\frac{2H}{g} = 2H\left(\frac{v_0^2}{g} - 2H\right).\] Максимум этого выражения достигается при \(H_\text{max} = \dfrac{v_0^2}{4g} = \dfrac{100}{40} = 2{,}5\) м.
Похожие задачи
- Столкновение двух комков глины в полёте Физтех 2008/09, 11 кл.
- Частицы, вылетевшие горизонтально «Шаг в будущее» 2009/10, 11 кл.
- Максимальная высота ВсОШ 2011/12, 10 кл.
- Зенитный снаряд Ведомственная 2011/12, 10 кл.
- Камень, брошенный под углом «Шаг в будущее» 2012/13, 11 кл.
- Бросок под углом к горизонту Ведомственная 2013/14, 10 кл.