Игрушечная пушка: три выстрела

При первом выстреле снаряд получает скорость из закона сохранения энергии. При третьем выстреле используйте сохранение горизонтального импульса системы «пушка, снаряд» и связь скорости снаряда относительно пушки с углом \(\varphi\).

1) По закону сохранения энергии при первом выстреле \(\dfrac{1}{2}mV_0^2 = mgH\). Дальность при втором выстреле \[S_2 = \frac{2V_0^2\sin\varphi\cos\varphi}{g} = \frac{4H\tan\varphi}{1 + \tan^2\varphi} = 8~\text{м}.\]

2) Пусть \(u\) — скорость пушки при третьем выстреле, \(V_1\), \(V_2\) — горизонтальная и вертикальная составляющие скорости снаряда относительно пола. Проекция импульса на горизонталь сохраняется: \(4mu = mV_1\). Из сложения скоростей \(V_2 = (V_1 + u)\tan\varphi\). Закон сохранения энергии: \[\frac{1}{2}m\left(V_1^2 + V_2^2\right) + \frac{1}{2}\cdot 4mu^2 = mgH .\] Расстояние \(S_3 = \dfrac{2V_1V_2}{g}\). Из записанных уравнений \[S_3 = \frac{16H\tan\varphi}{4 + 5\tan^2\varphi} = \frac{52}{7}~\text{м}.\]