Хороший, плохой

Число машин на каждом участке пропорционально времени, которое машина на нём проводит. Выразите среднее арифметическое скоростей через среднюю скорость одной машины на этом отрезке пути.

Пусть \(l_1\), \(l_2\) — длины «хорошего» и «плохого» участков дороги, \(v_1\), \(v_2\) — скорости автомобилей на этих участках. Пусть также \(\Delta t\) — временной интервал между автомобилями. Тогда дистанция между ближайшими автомобилями будет составлять \(v_1\Delta t\) на быстром отрезке и \(v_2\Delta t\) на медленном. Тогда на быстром отрезке в произвольный момент времени находится \(N_1 = \dfrac{l_1}{v_1\Delta t}\) автомобилей, а на медленном — \(N_2 = \dfrac{l_2}{v_2\Delta t}\). Среднее арифметическое их скоростей будет равно \(u = \dfrac{N_1v_1 + N_2v_2}{N_1 + N_2}\), поскольку всего автомобилей \(N_1 + N_2\). Имеем: \[u = \frac{N_1v_1 + N_2v_2}{N_1 + N_2} = \frac{\dfrac{l_1}{v_1\Delta t}v_1 + \dfrac{l_2}{v_2\Delta t}v_2}{\dfrac{l_1}{v_1\Delta t} + \dfrac{l_2}{v_2\Delta t}} = \frac{l_1 + l_2}{\dfrac{l_1}{v_1} + \dfrac{l_2}{v_2}}. \tag{1}\] Отметим, что полученный результат совпадает со средней скоростью отдельного автомобиля на всей дистанции. Аналогичный результат справедлив для автомобилей на второй половине дистанции. Поскольку средняя скорость на второй половине ниже, чем на всей дистанции, ясно, что плохой отрезок дороги идёт в конце пути. Тогда вторая половина дороги состоит из участка плохой дороги протяжённостью \(l_2\) и участка хорошей дороги протяжённостью \(\dfrac{l_1 + l_2}{2} - l_2 = \dfrac{l_1 - l_2}{2}\). Средняя скорость на второй половине пути может быть найдена как \[u_2 = \frac{\dfrac{l_1 + l_2}{2}}{\dfrac{l_1 - l_2}{2v_1} + \dfrac{l_2}{v_2}}. \tag{2}\] Из соотношения (1) получаем \[\frac{l_2}{v_2} = \frac{l_1 + l_2}{u} - \frac{l_1}{v_1}. \tag{3}\] Из соотношений (2) и (3) имеем \[\frac{l_1 + l_2}{2u_2} = \frac{l_1 - l_2}{2v_1} + \frac{l_2}{v_2} = -\frac{l_1 + l_2}{2v_1} + \frac{l_1 + l_2}{u}.\] После сокращения на \(l_1 + l_2\) получаем \[\frac{1}{2u_2} = -\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{u},\] откуда \(v_1 = \dfrac{uu_2}{2u_2 - u} = 84\) км/ч.