С одним велосипедом

Минимальное время достигается, когда все туристы прибывают в \(B\) одновременно и велосипед всё время занят. Пусть двое проехали расстояние \(x\) вместе: составьте уравнение на время прибытия пешего туриста.

Время путешествия будет минимальным, если все туристы одновременно прибудут в пункт назначения, а велосипед всё время будет задействован: в сторону от \(A\) к \(B\) на нём будут ехать двое, а от \(B\) к \(A\) — один.

Пусть два туриста на велосипеде проехали расстояние \(x\). На это им потребовалось время \(t_2 = x/\upsilon_2\). Затем один из них до пункта \(B\) шёл пешком (и прошёл расстояние \(L - x\) за некоторое время \(t_0\)), а другой поехал обратно навстречу своему товарищу, который из \(A\) шёл пешком. Пусть на обратную дорогу он потратил время \(\tau\). Если они встретятся от пункта \(A\) на расстоянии \(y = L - x\), то далее проедут на велосипеде расстояние \(x\) и прибудут в пункт \(B\) одновременно со спешившимся туристом.

Запишем эти условия на языке формул: \[\upsilon_0 \left( t_2 + \tau \right) = L - x . \qquad (1)\] За время \(t_2\) пеший турист прошёл расстояние \(x_1 = \upsilon_0 t_2 = x\,\dfrac{\upsilon_0}{\upsilon_2}\). Следовательно, велосипедист проедет обратно, до встречи со своим товарищем, расстояние \(x - x_1\) за время \[\tau = \dfrac{x - x_1}{\upsilon_0 + \upsilon_1} = \dfrac{(\upsilon_2 - \upsilon_0)\,x}{\upsilon_2\,(\upsilon_0 + \upsilon_1)} .\] Подставим в формулу (1) времена \(t_2\) и \(\tau\) и решим уравнение относительно \(x\). Подставив числовые значения скоростей и расстояния \(L\), получим \(x = 15\) км.

Теперь найдём время \(t_2 = x/\upsilon_2 = 1\) ч. Расстояние \(L - x = 7\) км, откуда \(t_0 = (L - x)/\upsilon_0 = 1{,}4\) ч.

Таким образом, всё время путешествия \(T = t_2 + t_0 = 2{,}4\) ч.