Кастрюля с водопроводной водой

Мощность плиты постоянна, поэтому времена нагрева пропорциональны количествам тепла. Запишите баланс тепла для первоначальной воды и для долитой воды.

Пусть масса воды в кастрюле равна \(m\). Уравнение теплового баланса для нагревания воды от температуры водопровода до температуры кипения дает \[P\,t = c\,m\,(T_к-T_0) \qquad (*)\] где \(P\) — мощность нагревателей плиты, \(c\) — удельная теплоемкость воды, \(T_0\) — температура водопроводной воды, \(T_к\) — температура кипения (поскольку входит разность температур, температуры можно задавать в градусах Цельсия).

Уравнение теплового баланса для доливания дополнительной водопроводной воды в кастрюлю дает (поскольку дополнительная вода нагрелась от температуры водопровода до температуры на \(\Delta T\) меньшей температуры кипения) \[c\,m_1\,(T_к-\Delta T-T_0) = c\,m\,\Delta T ,\] где \(m_1\) — масса дополнительной воды. Отсюда находим \[m_1 = \frac{m\,\Delta T}{T_к-\Delta T-T_0} \qquad (**)\]

Уравнение теплового баланса для нагревания воды массой \(m+m_1\) от температуры, меньшей на \(\Delta T\) температуры кипения, до температуры кипения дает \[P\,t_1 = c\,(m+m_1)\,\Delta T .\] Находя из формулы (**) массу \(m+m_1\), \[m+m_1 = m\left(1+\frac{\Delta T}{T_к-\Delta T-T_0}\right) = m\,\frac{T_к-T_0}{T_к-\Delta T-T_0} ,\] получим для нагревания воды массой \(m+m_1\) \[P\,t_1 = \frac{c\,m\,(T_к-T)\,\Delta T}{T_к-\Delta T-T_0} \qquad (***)\]

Деля теперь уравнение (*) на уравнение (***), найдем \[T_0 = T_к - \frac{t+t_1}{t_1}\,\Delta T = 16^\circ\text{C} .\]