Скользящий фанерный треугольник

Условие нерастяжимости: проекции скоростей концов стержня (сторон треугольника) на сторону должны быть одинаковы. Примените его к сторонам AC и BC.

При движении жесткого стержня справедливо условие нерастяжимости стержня — проекции скорости его концов на стержень одинаковы. Используем это условие для сторон треугольника AC и BC.

Пусть \(v_1\) — скорость вершины C, и угол между вектором \(\vec v_1\) и стороной BC — \(\alpha\). Тогда из условия нерастяжимости сторон AC и BC получим \[v\cos 30^\circ = v_1\cos(\alpha+60^\circ) , \qquad 3v\cos 30^\circ = v_1\cos\alpha .\]

Деля уравнения друг на друга и используя формулу сложения косинуса, найдем \[\frac{1}{3} = \frac{\cos\alpha\cos 60^\circ - \sin\alpha\sin 60^\circ}{\cos\alpha} .\] Отсюда \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{3\cos 60^\circ-1}{3\sin 60^\circ} = \frac{1}{3\sqrt{3}} .\] Поэтому \[\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} .\] И из второго уравнения системы находим \[v_1 = \frac{3v\cos 30^\circ}{\cos\alpha} = \sqrt{7}\,v .\]