Кубик, погружаемый силой вниз

Для каждого положения запишите условие равновесия кубика с учетом силы Архимеда и внешней силы; глубины погружения удобно выразить через долю ребра куба.

Пусть свободно плавающий кубик погружается в воду на глубину \(h\). Тогда условие равновесия кубика дает \[\rho\,g\,a^3 = \rho_0\,g\,a^2 h \qquad (*)\] где \(\rho\) — плотность вещества кубика, \(a\) — длина его ребра. Отсюда находим отношение плотностей кубика и воды \[\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{h}{a} .\] Когда на плавающий кубик действует «утапливающая» сила \(F\), условие равновесия дает \[\rho\,g\,a^3 + F = \rho_0\,g\,V_{п.ч.} ,\] где \(V_{п.ч.}\) — объем погруженной части кубика. Поскольку \(V_{п.ч.}=a^2(h+\Delta h)\), где \(\Delta h\) — глубина «притопления» кубика силой \(F\) дополнительно к его погружению за счет силы тяжести. Отсюда с учетом (*) получаем \[F = \rho_0\,g\,a^2\,\Delta h .\] Поэтому для равновесных положений кубика, данных в задаче, имеем \[F = \rho_0\,g\,a^2\left(\frac{a}{2}-h\right) = \rho_0\,g\,a^3\left(\frac{1}{2}-\frac{h}{a}\right) ,\] \[3F = \rho_0\,g\,a^2\,(a-h) = \rho_0\,g\,a^3\left(1-\frac{h}{a}\right) . \qquad (***)\] Деля уравнения (***) друг на друга, получаем \[\frac{2}{3} = \frac{1-2x}{1-x} ,\] где \(x=h/a\). Отсюда находим \[x = \frac{1}{4} .\] А затем из формулы для отношения плотностей \[\rho = \frac{\rho_0}{4} = 250~\text{кг/м}^3 .\]